Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime prime-6 y^prime+9 y=e^t, y(0)=y^prime(0)=1

Passo 1

A questão pede para resolver o problema de valor inicial
queremos achar a solução de
y'' - 6y' + 9y = e^t, y(0)=1, y'(0)=1,
que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A ideia é somar a solução geral homogênea com uma particular.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução homogênea associada. A equação característica é
r^2 - 6r + 9 = 0 (r - 3)^2 = 0
logo temos raiz dupla r=3. Isso dá
y_h(t) = (C_1 + C_2 ,t),e^{3t}.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular do tipo yp = A e^t. Calculamos
y_p’ = A e^t, \quad y_p’’ = A e^t
Substituindo em
yp'' - 6yp' + 9yp = A e^t - 6A e^t + 9A e^t = 4A e^t stackrel!= e^t
segue 4A=1 e A = tfrac14. Assim
y_p(t) = \tfrac14 e^t.

Passo 4

A solução geral é
y(t) = (C_1 + C_2 t)e^{3t} + \tfrac14 e^t.
Aplicamos as condições iniciais:
para t=0:
y(0)=C1 + tfrac14 = 1 implies C1 = tfrac34,
calculando a derivada
y'(t) = [3C1 + C2 + 3C2 t]e^3t + tfrac14 e^t,
e avaliando em t=0:
y'(0)=3C1 + C2 + tfrac14 = 1 implies 3cdottfrac34 + C2 + tfrac14 = 1 implies C2 = -tfrac32

Resposta

y(t) = l(tfrac34 - tfrac32,tr)e^3t + tfrac14 e^t.

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