Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
A questão pede para resolver o problema de valor inicial
queremos achar a solução de
queremos achar a solução de
que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A ideia é somar a solução geral homogênea com uma particular.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução homogênea associada. A equação característica é
logo temos raiz dupla
. Isso dá
y_h(t) = (C_1 + C_2 ,t),e^{3t}.
y_h(t) = (C_1 + C_2 ,t),e^{3t}.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular do tipo
. Calculamos
y_p’ = A e^t, \quad y_p’’ = A e^t
Substituindo em
y_p’ = A e^t, \quad y_p’’ = A e^t
Substituindo em
segue
e
. Assim
y_p(t) = \tfrac14 e^t.
y_p(t) = \tfrac14 e^t.
Passo 4
A solução geral é
y(t) = (C_1 + C_2 t)e^{3t} + \tfrac14 e^t.
Aplicamos as condições iniciais:
para :
y(t) = (C_1 + C_2 t)e^{3t} + \tfrac14 e^t.
Aplicamos as condições iniciais:
para
calculando a derivada
e avaliando em
: