Usando coordenadas polares faça o esboço das curvas dadas pelas equações.
(Limaçon de Pascal)
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a curva polar dada por
. O conteúdo é curvas em coordenadas polares (Limaçon de Pascal) e vamos precisar lembrar como passar de polar para cartesiano e como analisar r(θ).
Passo 2
Em coordenadas polares cada ponto é dado por
e
. Para esboçar
a gente olha como r varia quando
vai de 0 a
.
Como só aparece , a curva é simétrica em relação ao eixo polar (eixo x). Isso facilita: o ramo de
a
é espelhado no de
a
.
Como só aparece
Passo 3
Vamos achar extremos de r usando derivada:
Zero em
e
.
Em :
Em
Em
:
Como
nunca zera (
), não há laço interno. O mínimo
em
e o máximo
em
.
Passo 4
Para ter mais pontos de referência, calculemos também:
Passo 5
Agora, ao variar
de 0 a
, a curva parte de
, cresce até
em
, atinge
em
, volta a
em
e fecha em
em
.
Desenhe com esses pontos e respeite a simetria para obter um limaçon sem laço, “amassado” mas sem dente interno.
Desenhe com esses pontos e respeite a simetria para obter um limaçon sem laço, “amassado” mas sem dente interno.
Resposta
É um limaçon de Pascal sem laço, simétrico ao eixo x, com ponto mais próximo em
e mais distante em
, passando pelos raios
em
e
.