Usando coordenadas polares faça o esboço das curvas dadas pelas equações.
r=2-cos theta (Limaçon de Pascal)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva polar dada por r=2-costheta. O conteúdo é curvas em coordenadas polares (Limaçon de Pascal) e vamos precisar lembrar como passar de polar para cartesiano e como analisar r(θ).

Passo 2

Em coordenadas polares cada ponto é dado por x=rcostheta e y=rsintheta. Para esboçar r(theta) a gente olha como r varia quando theta vai de 0 a 2pi.
Como só aparece costheta, a curva é simétrica em relação ao eixo polar (eixo x). Isso facilita: o ramo de 0 a pi é espelhado no de pi a 2pi.

Passo 3

Vamos achar extremos de r usando derivada:
drdtheta=ddtheta(2-costheta)=sintheta
Zero em theta=0 e theta=pi.
Em theta=0:
r(0)=2-cos0=2-1=1
Em theta=pi:
r(pi)=2-cospi=2-(-1)=3
Como r(theta) nunca zera ( 2-costheta>=1>0), não há laço interno. O mínimo rmin=1 em theta=0 e o máximo rmax=3 em theta=pi.

Passo 4

Para ter mais pontos de referência, calculemos também:
rl(tfracpi2r)=2-0=2, rl(tfrac3pi2r)=2-0=2

Passo 5

Agora, ao variar theta de 0 a 2pi, a curva parte de (r,theta)=(1,0), cresce até 2 em theta=tfracpi2, atinge 3 em theta=pi, volta a 2 em tfrac3pi2 e fecha em 1 em 2pi.
Desenhe com esses pontos e respeite a simetria para obter um limaçon sem laço, “amassado” mas sem dente interno.

Resposta

É um limaçon de Pascal sem laço, simétrico ao eixo x, com ponto mais próximo em (1,0) e mais distante em (-3,0), passando pelos raios r=2 em theta=tfracpi2 e tfrac3pi2.

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