Resolva os seguintes problemas de valor inicial
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial $ y’’ + y = 0 $ com as condições iniciais $ y(2) = 0 $ e $ y’(2) = 0 $. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes, utilizando funções trigonométricas como senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, identificamos a equação diferencial: $ y’’ + y = 0 $. Essa é uma equação homogênea de segunda ordem com termos constantes. Para resolver, procuramos uma solução da forma $ y = e^{rx} $, onde $ r $ é uma constante que precisamos encontrar.
Passo 3
Calculamos as derivadas de $ y $:
Substituindo essas derivadas na equação diferencial:
Passo 4
Fatorando $ e^{rx} $, temos:
Como $ e^{rx} $ nunca é zero, devemos ter:
Passo 5
Resolvendo a equação característica $ r^2 + 1 = 0 $:
Isso indica que as soluções serão funções trigonométricas.
Passo 6
A solução geral da equação diferencial é então:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 7
Aplicamos a primeira condição inicial $ y(2) = 0 $:
Passo 8
Calculamos a derivada da solução geral para aplicar a segunda condição:
Agora, aplicamos $ y’(2) = 0 $:
Passo 9
Temos um sistema de equações:
- $ C_1 \cos(2) + C_2 \sin(2) = 0 $
- $ -C_1 \sin(2) + C_2 \cos(2) = 0 $
Podemos resolver esse sistema para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Passo 10
Escrevemos o sistema em forma matricial:
$$
$$
Calculamos o determinante da matriz:
Como o determinante é diferente de zero, a única solução possível é:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é $ y(x) = 0 $.