Resolva os seguintes problemas de valor inicial
y^prime prime+y=0: y(2)=0, y^prime(2)=0

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial $ y’’ + y = 0 $ com as condições iniciais $ y(2) = 0 $ e $ y’(2) = 0 $. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes, utilizando funções trigonométricas como senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, identificamos a equação diferencial: $ y’’ + y = 0 $. Essa é uma equação homogênea de segunda ordem com termos constantes. Para resolver, procuramos uma solução da forma $ y = e^{rx} $, onde $ r $ é uma constante que precisamos encontrar.

Passo 3

Calculamos as derivadas de $ y $:
y
y' = r e^rx
Substituindo essas derivadas na equação diferencial:
y'' = r^2 e^rx

Passo 4

Fatorando $ e^{rx} $, temos:
e^rx
Como $ e^{rx} $ nunca é zero, devemos ter:
e^rx (r^2 + 1) = 0

Passo 5

Resolvendo a equação característica $ r^2 + 1 = 0 $:
r^2 + 1 = 0
Isso indica que as soluções serão funções trigonométricas.

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é então:
y(x) = C1 cos(x) + C2 sin(x)
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 7

Aplicamos a primeira condição inicial $ y(2) = 0 $:
y(2) = 0

Passo 8

Calculamos a derivada da solução geral para aplicar a segunda condição:
y'(x) = -C1 sin(x) + C2 cos(x)
Agora, aplicamos $ y’(2) = 0 $:
y'(2) = 0

Passo 9

Temos um sistema de equações:
  1. $ C_1 \cos(2) + C_2 \sin(2) = 0 $
  2. $ -C_1 \sin(2) + C_2 \cos(2) = 0 $
Podemos resolver esse sistema para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.

Passo 10

Escrevemos o sistema em forma matricial:

$$
cos(2) & sin(2) -sin(2) & cos(2) C1 C2 = 0 0
cos^2(2) + sin^2(2) = 1 neq 0

C1 = 0 e C2 = 0
$$
Calculamos o determinante da matriz:
Como o determinante é diferente de zero, a única solução possível é:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é $ y(x) = 0 $.

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