Verifique as seguintes igualdades para a transformada de Laplace e a transformada de Laplace inversa:
;
Passo 1
Estamos lidando com a propriedade de escala na transformada de Laplace, isto é, como a transformação age quando a função tem argumento multiplicado por uma constante. Vamos usar a definição de Laplace e um simples mudança de variável para chegar na igualdade.
Passo 2
Escrevemos a definição da transformada de Laplace de
:
Passo 3
Fazemos a mudança de variável
, então
e
. Quando
vai de 0 a
,
também vai de 0 a
. Substituindo na integral:
$$\mathscr{L}{f(c t)}(s)=\int_{0}{\infty}e{-s,(u/c)}f(u)\frac{du}{c}
=\frac{1}{c}\int_{0}{\infty}e{-(s/c),u}f(u),du$$
Passo 4
Reconhecemos que a integral restante é exatamente a transformada de Laplace de
avaliada em
. Logo: