Verifique as seguintes igualdades para a transformada de Laplace e a transformada de Laplace inversa:
;

Passo 1

Estamos lidando com a propriedade de escala na transformada de Laplace, isto é, como a transformação age quando a função tem argumento multiplicado por uma constante. Vamos usar a definição de Laplace e um simples mudança de variável para chegar na igualdade.

Passo 2

Escrevemos a definição da transformada de Laplace de f(c t):
mathscrLf(c t)(s)=integral0^inftye^-s tf(c t),dt

Passo 3

Fazemos a mudança de variável u=c t, então t=u/c e dt=du/c. Quando t vai de 0 a infty, u também vai de 0 a infty. Substituindo na integral:
$$\mathscr{L}{f(c t)}(s)=\int_{0}{\infty}e{-s,(u/c)}f(u)\frac{du}{c}
=\frac{1}{c}\int_{0}{\infty}e{-(s/c),u}f(u),du$$

Passo 4

Reconhecemos que a integral restante é exatamente a transformada de Laplace de f avaliada em s/c. Logo:
mathscrLf(c t)(s)=1c;mathscrLfl(scr)

Resposta

mathscrL(f(c t))=1c;mathscrLfl(tfracscr)

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