Resolva os seguintes problemas de valores iniciais com o uso da Transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=t^{2}, \quad y(0)=1, y^{\prime}(0)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por Transformada de Laplace, o problema de valor inicial
y'' - y' - 2y = t^2, \quad y(0)=1,\quad y'(0)=3.
O conteúdo envolve aplicar a Transformada de Laplace em cada termo de y, usar as condições iniciais via propriedades
\mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0) e
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
resolver para Y(s), fazer frações parciais e inverter a transformada.

Passo 2

Aplicando \mathcal{L}\{\cdot\} na equação, obtemos
\bigl[s^2Y(s)-s\cdot y(0)-y'(0)\bigr] -\bigl[sY(s)-y(0)\bigr] -2Y(s) =\mathcal{L}\{t^2\}=\frac{2}{s^3}.
Substituindo y(0)=1 e y'(0)=3, fica
\bigl[s^2Y(s)-s-3\bigr]-\bigl[sY(s)-1\bigr]-2Y(s) =\frac{2}{s^3} \;\Longrightarrow\; (s^2-s-2)Y(s)-(s+2)=\frac{2}{s^3}.
Logo
(s^2-s-2)Y(s) =\;s+2+\frac{2}{s^3} \quad\Longrightarrow\quad Y(s) =\frac{s+2}{(s-2)(s+1)}+\frac{2}{s^3\,(s-2)(s+1)}.

Passo 3

Decompondo
\frac{s+2}{(s-2)(s+1)} =\frac{A}{s-2}+\frac{B}{s+1},
temos s+2=A(s+1)+B(s-2). Para s=2 vem 4=3A\Rightarrow A=\tfrac{4}{3}, e para s=-1 vem 1=-3B\Rightarrow B=-\tfrac{1}{3}.
Portanto
\frac{s+2}{(s-2)(s+1)} =\frac{4}{3}\frac{1}{s-2}-\frac{1}{3}\frac{1}{s+1}.

Passo 4

Agora fazemos a fração parcial para
\displaystyle \frac{2}{s^3(s-2)(s+1)}. Escrevemos
\frac{2}{s^3(s-2)(s+1)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s^2}+\frac{C}{s^3}+\frac{D}{s-2}+\frac{E}{s+1}
e determinamos A,B,C,D,E. Encontramos
A=-\tfrac{3}{4},\; B=\tfrac12,\; C=-1,\; D=\tfrac{1}{12},\; E=\tfrac{2}{3}.
Logo
\frac{2}{s^3(s-2)(s+1)} =-\frac{3}{4}\frac{1}{s} +\frac12\frac{1}{s^2} -\frac{1}{s^3} +\frac{1}{12}\frac{1}{s-2} +\frac{2}{3}\frac{1}{s+1}.

Passo 5

Somando as parcelas de Y(s):
Y(s) =\Bigl(\tfrac{4}{3}+\tfrac{1}{12}\Bigr)\frac{1}{s-2} +\Bigl(-\tfrac{1}{3}+\tfrac{2}{3}\Bigr)\frac{1}{s+1} -\tfrac{3}{4}\frac{1}{s} +\tfrac12\frac{1}{s^2} -\frac{1}{s^3}.
Isso dá
Y(s) =\frac{17}{12}\frac{1}{s-2} +\frac{1}{3}\frac{1}{s+1} -\frac{3}{4}\frac{1}{s} +\frac12\frac{1}{s^2} -\frac{1}{s^3}.
Invertendo cada termo via tabelas:
\mathcal{L}^{-1}\{1/(s-2)\}=e^{2t},
\mathcal{L}^{-1}\{1/(s+1)\}=e^{-t},
\mathcal{L}^{-1}\{1/s\}=1,
\mathcal{L}^{-1}\{1/s^2\}=t,
\mathcal{L}^{-1}\{1/s^3\}=t^2/2.

Resposta

y(t) =\frac{17}{12}e^{2t} +\frac{1}{3}e^{-t} -\frac{3}{4} +\frac{1}{2}t -\frac{1}{2}t^2.

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