Resolva os seguintes problemas de valores iniciais com o uso da Transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}+y=t, \quad y(0)=1, y^{\prime}(0)=-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO com valor inicial
y'' + y = t,\quad y(0)=1,\;y'(0)=-2
usando a Transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades
\mathcal{L}\{y'\}(s)=sY(s)-y(0), \quad \mathcal{L}\{y''\}(s)=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
e das transformadas conhecidas de 1, t, \sin t e \cos t.

Passo 2

Aplicamos \mathcal{L} em ambos os lados de y''+y=t. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s), temos
\mathcal{L}\{y''\}(s)+\mathcal{L}\{y\}(s) =\mathcal{L}\{t\}(s).
Substituindo as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=-2,
\bigl(s^2Y(s)-s\cdot1-(-2)\bigr)+Y(s)=\frac{1}{s^2}.
Ou seja,
s^2Y(s)-s+2 + Y(s)=\frac{1}{s^2}.

Passo 3

Colocando Y(s) em evidência:
Y(s)\,(s^2+1)=\frac{1}{s^2}+s-2 \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{s-2}{s^2+1}+\frac{1}{s^2\,(s^2+1)}.

Passo 4

Para inverter a última parcela, fazemos decomposição em frações parciais:
\frac{1}{s^2(s^2+1)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s^2}+\frac{Cs+D}{s^2+1}.
Multiplicando por s^2(s^2+1) e igualando coeficientes, encontra-se
A=0,\quad B=1,\quad C=0,\quad D=-1,
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\frac{1}{s^2(s^2+1)} =\frac{1}{s^2}-\frac{1}{s^2+1}.
Assim
Y(s)=\frac{s}{s^2+1}-\frac{2}{s^2+1}+\frac{1}{s^2}-\frac{1}{s^2+1}.

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{s}{s^2+1}\Bigr\}= \cos t, \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^2+1}\Bigr\}= \sin t, \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^2}\Bigr\}= t.
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y(t) =\cos t -2\sin t +\,t -\,\sin t = t + \cos t - 3\sin t.

Resposta

y(t)=t+\cos t-3\sin t

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