Resolva os seguintes problemas de valores iniciais com o uso da Transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+5 y=e^{-3 t} \cos t, \quad y(0)=2, y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O exercício pede para resolver o problema de valor inicial
y''+4y'+5y=e^{-3t}\cos t,\quad y(0)=2,\;y'(0)=1
usando a Transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades
  1. \mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0) e \mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0).
  2. \mathcal{L}\{e^{-at}f(t)\}=F(s+a).
  3. Tabelas básicas: \mathcal{L}\{\cos bt\}=s/(s^2+b^2), \mathcal{L}\{\sin bt\}=b/(s^2+b^2).

Passo 2

Aplicando \mathcal{L} em ambos os lados e usando as condições iniciais:
\mathcal{L}\{y''\}+4\mathcal{L}\{y'\}+5\mathcal{L}\{y\} =\mathcal{L}\{e^{-3t}\cos t\}.
Isto dá
\bigl(s^2Y(s)-s\cdot2-1\bigr) +4\bigl(sY(s)-2\bigr) +5Y(s) =\frac{s+3}{(s+3)^2+1}.
Agrupando Y(s) e os termos independentes:
Y(s)\bigl(s^2+4s+5\bigr)-(2s+1+8) =\frac{s+3}{(s+3)^2+1},
ou seja
Y(s)(s^2+4s+5) =\frac{s+3}{(s+3)^2+1}+2s+9.

Passo 3

Note que s^2+4s+5=(s+2)^2+1. Logo
Y(s) =\frac{s+3}{\bigl((s+3)^2+1\bigl)\bigl((s+2)^2+1\bigr)} +\frac{2s+9}{(s+2)^2+1}.
Vamos inverter a transformada dividindo em duas parcelas:
  1. Y_1(s)=\dfrac{s+3}{((s+3)^2+1)((s+2)^2+1)}.
  2. Y_2(s)=\dfrac{2s+9}{(s+2)^2+1}.

Passo 4

Para Y_2(s) fazemos fração parcial sobre (s+2)^2+1. Queremos
\frac{2s+9}{(s+2)^2+1} =\frac{A(s+2)+B}{(s+2)^2+1}.
Temos 2s+9=A s+2A+B, igualando coeficientes:
A=2,\quad 2A+B=9\implies B=5.
Logo
Y_2(s)=2\frac{s+2}{(s+2)^2+1}+5\frac{1}{(s+2)^2+1}.
Invertendo a Laplace:
y_2(t) =2e^{-2t}\cos t+5e^{-2t}\sin t.

Passo 5

Para Y_1(s) fazemos fração parcial do tipo
\frac{s+3}{((s+3)^2+1)((s+2)^2+1)} =\frac{A(s+3)+B}{(s+3)^2+1}+\frac{C(s+2)+D}{(s+2)^2+1}.
Montando e igualando coeficientes obtém-se
A=\tfrac15,\;B=-\tfrac25,\;C=-\tfrac15,\;D=\tfrac35.
Logo
Y_1(s) =\frac{\tfrac15(s+3)-\tfrac25}{(s+3)^2+1} +\frac{-\tfrac15(s+2)+\tfrac35}{(s+2)^2+1}.

Passo 6

Invertendo a Laplace de cada termo em Y_1(s):
y_1(t) =\tfrac15e^{-3t}\cos t-\tfrac25e^{-3t}\sin t -\tfrac15e^{-2t}\cos t+\tfrac35e^{-2t}\sin t.
Somando y_1(t)+y_2(t) obtemos a solução final.

Resposta

y(t) =\frac{1}{5}e^{-3t}\cos t-\frac{2}{5}e^{-3t}\sin t +\frac{9}{5}e^{-2t}\cos t+\frac{28}{5}e^{-2t}\sin t.

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