Resolva os seguintes problemas de valores iniciais
y^prime+12 y=12 e^t / 3, com y(0)=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial. A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem do tipo linear:
y^prime + 12 y = 12 e^t / 3, com y(0) = 3
A matéria que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais lineares de primeira ordem e o método do fator integrante para resolver. Vamos precisar identificar os coeficientes da equação e aplicar o fator integrante para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem, que é:
y^prime + P(t) y = Q(t)
Comparando com a nossa equação:
P(t) = 12 e Q(t) = 12 e^t / 3

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante, que é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt
Substituindo $ P(t) = \frac{1}{2} $:
P(t) = 12

Passo 4

Em seguida, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^12 t y^prime + e^12 t cdot 12 y = e^12 t cdot 12 e^t / 3
Isso simplifica para:
ddt ( e^12 t y ) = 12 e^12 t e^t / 3

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a $ t $:
t
A integral do lado esquerdo simplesmente nos dá:
integral ddt ( e^12 t y ) dt = integral 12 e^12 t e^t / 3 dt
Aqui, combinamos os expoentes no lado direito: $ \frac{1}{2} t + \frac{1}{3} t = \frac{5}{6} t $.

Passo 6

Vamos resolver a integral:
integral e^56 t dt = 65 e^56 t + C
Então:
e^12 t y = 12 cdot 65 e^56 t + C
Simplificando:
e^12 t y = 35 e^56 t + C

Passo 7

Agora, vamos isolar $ y $ dividindo ambos os lados por $ e^{\frac{1}{2} t} $:
y
Simplificando os expoentes:
e^12 t

Passo 8

Finalmente, aplicamos a condição inicial $ y(0) = 3 $ para encontrar $ C $:
y(0) = 3

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 35 e^13 t + 125 e^-12 t

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