Resolva os seguintes problemas de valores iniciais
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial. A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem do tipo linear:
A matéria que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais lineares de primeira ordem e o método do fator integrante para resolver. Vamos precisar identificar os coeficientes da equação e aplicar o fator integrante para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem, que é:
Comparando com a nossa equação:
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante, que é dado por:
Substituindo $ P(t) = \frac{1}{2} $:
Passo 4
Em seguida, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a $ t $:
A integral do lado esquerdo simplesmente nos dá:
Aqui, combinamos os expoentes no lado direito: $ \frac{1}{2} t + \frac{1}{3} t = \frac{5}{6} t $.
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Então:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos isolar $ y $ dividindo ambos os lados por $ e^{\frac{1}{2} t} $:
Simplificando os expoentes:
Passo 8
Finalmente, aplicamos a condição inicial $ y(0) = 3 $ para encontrar $ C $:
Resposta
A solução da equação diferencial é: