Verifique se as equações abaixo são exatas. Em caso afirmativo, resolva-as:
\left(e^{x} \sin y-2 y \sin x\right) d x+\left(e^{x} \cos y+2 \cos x\right) d y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
\bigl(e^{x}\sin y - 2y\sin x\bigr)\,dx + \bigl(e^{x}\cos y + 2\cos x\bigr)\,dy = 0
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral. Vamos usar a teoria das equações exatas, isto é, checar se
M(x,y) = e^{x}\sin y - 2y\sin x \quad\text{e}\quad N(x,y) = e^{x}\cos y + 2\cos x
satisfazem \partial M/\partial y = \partial N/\partial x e, então, buscar uma função potencial \Psi(x,y) tal que \Psi_x = M e \Psi_y = N.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}\sin y\bigr) - \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2y\sin x\bigr) = e^{x}\cos y - 2\sin x,
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}\cos y\bigr) + \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2\cos x\bigr) = e^{x}\cos y -2\sin x.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos \Psi(x,y) integrando M em relação a x:
\Psi(x,y) = \int\bigl(e^{x}\sin y - 2y\sin x\bigr)\,dx = \int e^{x}\sin y\,dx -2y\int\sin x\,dx.
Aqui \sin y é constante em x, então
\Psi(x,y) = e^{x}\sin y + 2y\cos x + H(y),
onde H(y) é uma função que depende só de y.

Passo 4

Determinar H(y) exigindo \Psi_y = N:
\Psi_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}\sin y + 2y\cos x + H(y)\bigr) = e^{x}\cos y + 2\cos x + H'(y).
Para coincidir com N(x,y)=e^{x}\cos y + 2\cos x, precisamos de H'(y)=0. Logo H(y) é constante.

Resposta

A solução implícita geral é
e^{x}\sin y + 2y\cos x = C,
com C constante.

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