Verifique se as equações abaixo são exatas. Em caso afirmativo, resolva-as:
\left(y e^{x y} \cos 2 x-2 e^{x y} \sin 2 x+2 x\right) d x+\left(x e^{x y} \cos 2 x-3\right) d y=0

Passo 1

No enunciado temos a equação \bigl(y e^{x y}\cos2x-2e^{x y}\sin2x+2x\bigr)\,dx+\bigl(x e^{x y}\cos2x-3\bigr)\,dy=0.
Definimos
M(x,y)=y e^{x y}\cos2x-2e^{x y}\sin2x+2x, \quad N(x,y)=x e^{x y}\cos2x-3.
O objetivo é verificar se ela é exata (isto é, se \partial M/\partial y=\partial N/\partial x) e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial \psi(x,y) tal que d\psi=M\,dx+N\,dy.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y e^{x y}\cos2x\bigr) -2\,\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x y}\sin2x\bigr) = e^{x y}\cos2x + x y e^{x y}\cos2x -2x e^{x y}\sin2x,
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x e^{x y}\cos2x\bigr) = e^{x y}\cos2x + x\bigl(y e^{x y}\cos2x -2e^{x y}\sin2x\bigr) = e^{x y}\cos2x + x y e^{x y}\cos2x -2x e^{x y}\sin2x.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para achar \psi(x,y), integramos M em relação a x. Note que
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x y}\cos2x\bigr) = y e^{x y}\cos2x -2e^{x y}\sin2x,
então
M = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x y}\cos2x\bigr) + 2x.
Assim,
\psi(x,y) = \int M\,dx = e^{x y}\cos2x + x^2 + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Impondo \partial\psi/\partial y=N, temos
\frac{\partial\psi}{\partial y} = x e^{x y}\cos2x + h'(y) \stackrel!= x e^{x y}\cos2x -3 \;\Longrightarrow\; h'(y)=-3 \;\Longrightarrow\; h(y)=-3y + C.

Resposta

e^{x y}\cos2x + x^2 -3y = C.

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