Resolva os seguintes PVI’s.
X^prime=(cc6 & -1 5 & 4) X, com X(0)=binom-28

Passo 1

O enunciado dá o PVI
X' = A,X, A = 6 & -1 5 & 4, X(0)=-2[3pt]8
Este é um sistema linear de ordem 2 com coeficientes constantes. Vamos reduzir a um PVI de segunda ordem para uma das componentes, achar a solução geral e depois determinar a outra componente e as constantes pelo valor inicial.]

Passo 2

Chamando X(t)=(x(t),y(t))^T, extraímos de X'=AX as equações
x' = 6x - y, y' = 5x + 4y
Derivando a primeira, x'' = 6x' - y'. Substituindo y' da segunda e y da primeira em x'' obtemos
x'' = 6(6x - y) - (5x+4y) = 31x -10y,
e como y = 6x - x', segue
x'' = 31x -10(6x - x') = 10x' - 29x,
ou seja
x'' - 10x' + 29x = 0

Passo 3

A equação característica é
s^2 - 10s + 29 = 0,
cuja solução é
s = 10 pm raiz100 - 1162 = 5 pm 2,i
Logo a solução real geral para x(t) é
x(t) = e^5tl(Ccos2t + Dsin2tr)

Passo 4

Para achar y(t) usamos y = 6x - x'. Primeiro calculemos
x' = e^5tl[(5C+2D)cos2t + (5D - 2C)sin2tr]
Logo
y(t) = 6x - x' = e^5tl[(6C - (5C+2D))cos2t + (6D - (5D-2C))sin2tr] = e^5tl((C - 2D)cos2t + (D+2C)sin2tr)

Passo 5

Impondo as condições iniciais:
x(0)=C = -2,
y(0)=C - 2D = 8 ;Longrightarrow;-2 -2D = 8;Longrightarrow;D = -5
Substituindo C=-2 e D=-5,
x(t) = e^5tl(-2cos2t - 5sin2tr),
y(t) = e^5tl((-2) - 2(-5)r)cos2t + e^5tl((-5)+2(-2)r)sin2t = e^5tl(8cos2t - 9sin2tr)

Resposta

X(t)= x(t)[4pt]y(t) = e^5tl(-2cos2t - 5sin2tr)[6pt] e^5tl(8cos2t - 9sin2tr) ]

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