Resolva os seguintes PVIs:
y^prime prime-4 y^prime+4 y=0, y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

Temos uma equação diferencial de segunda ordem, linear e homogênea com coeficientes constantes: y’’ - 4y’ + 4y = 0, sujeita às condições iniciais y(0) = 1 e y’(0) = 0. Vamos usar o polinômio característico para resolver.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico associado:
r^2 - 4r + 4 = 0

Passo 3

Observando que ele pode ser fatorado como
(r-2)^2 = 0
vemos que há raiz dupla r = 2.

Passo 4

Para uma raiz dupla numa EDO homogênea, a solução geral é dada por
y(x) = C1 e^2x + C2 x e^2x.

Passo 5

Aplicamos a condição y(0) = 1 na expressão geral:
y(0) = C1 e^0 + C2 ,0cdot e^0 = C1 = 1.

Passo 6

Agora derivamos y(x) para usar y’(0) = 0:
y'(x) = ddxl(C1 e^2x + C2 x e^2xr) = e^2xl(2C1 + C2 + 2C2 xr).

Passo 7

Em x = 0,
y'(0) = 2C1 + C2 = 0 implies 2cdot1 + C2 = 0 implies C2 = -2

Passo 8

Com C_1 = 1 e C_2 = -2, substituímos na solução geral para obter a solução particular que satisfaz as condições iniciais.

Resposta

y(x) = e^{2x}(1 - 2x)

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