Resolva os seguintes PVIs:
Passo 1
Temos uma equação diferencial de segunda ordem, linear e homogênea com coeficientes constantes: y’’ - 4y’ + 4y = 0, sujeita às condições iniciais y(0) = 1 e y’(0) = 0. Vamos usar o polinômio característico para resolver.
Passo 2
Escrevemos o polinômio característico associado:
Passo 3
Observando que ele pode ser fatorado como
vemos que há raiz dupla r = 2.
Passo 4
Para uma raiz dupla numa EDO homogênea, a solução geral é dada por
Passo 5
Aplicamos a condição y(0) = 1 na expressão geral:
Passo 6
Agora derivamos y(x) para usar y’(0) = 0:
Passo 7
Em x = 0,
Passo 8
Com C_1 = 1 e C_2 = -2, substituímos na solução geral para obter a solução particular que satisfaz as condições iniciais.
Resposta
y(x) = e^{2x}(1 - 2x)