Resolva as seguintes questões usando o Teorema de Green:
Seja gamma a parte da circunferência x^2+y^2=1 com y >= 0, orientada do ponto (1,0) para o ponto (-1,0). Calcule I=integralgamma F cdot d r, onde
F(x, y)=[e^x+x ln (1+y^2)] i+[x^2 y1+y^2+x y+2 y] j

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
I=integralgammavec Fcdot dvec r
onde gamma é a semicircunferência x^2+y^2=1, y>=0, orientada de (1,0) a (-1,0), e
vec F(x,y)=l[e^x + xln(1+y^2)r]vec i+l[x^2y1+y^2+xy+2yr]vec j
Vamos aplicar o Teorema de Green fechando gamma pelo segmento retilíneo de (-1,0) a (1,0), de modo a formar a fronteira positiva (sentido anti-horário) do meio-disco superior.

Passo 2

Denotemos por Gamma a curva fechada que é a união de gamma (semicírculo) e do segmento C de (-1,0) a (1,0). Pelo Teorema de Green:
ointGammaP,dx+Q,dy =integral duplaRl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA,
onde P(x,y)=e^x + xln(1+y^2) e Q(x,y)=x^2y1+y^2+xy+2y, e R é o meio-disco x^2+y^2<=1,;y>=0. Note que
ointGammaP,dx+Q,dy =underbraceintegralgammaP,dx+Q,dyI +underbraceintegralCP,dx+Q,dyIC

Passo 3

Calculemos o integrando de Green:
partial Qpartial x =partialpartial xl(x^2y1+y^2+xy+2yr) =2xy1+y^2+y,
partial Ppartial y =partialpartial yl(e^x + xln(1+y^2)r) =2xy1+y^2
Logo
partial Qpartial x-partial Ppartial y =y

Passo 4

Aplicando em coordenadas polares ( x=rcostheta, y=rsintheta), para 0<= r<=1, 0<=theta<=pi:
integral duplaRy,dA =integral0^piintegral0^1(rsintheta),r,dr,dtheta =l(integral0^pisintheta,dthetar)l(integral0^1r^2,drr) =2cdot13=23
Portanto
ointGammaP,dx+Q,dy=23

Passo 5

Agora calculemos a integral sobre o segmento C: parametrize por x=t, y=0, tin[-1,1]. Então dx=dt, dy=0 e
P(t,0),dx+Q(t,0),dy =l(e^t + tln1r),dt =e^t,dt
Assim
IC=integral-1^1e^t,dt =l[e^tr]-1^1 =e-e^-1

Passo 6

Da relação
ointGammaP,dx+Q,dy =I+IC
vem
I=23-IC =23-(e-e^-1) =e^-1-e+23

Resposta

I = e^-1 - e + 23

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