Resolva as seguintes questões usando o Teorema de Green:
Seja
a parte da circunferência
com
, orientada do ponto
para o ponto
. Calcule
, onde
F(x, y)=[e^x+x ln (1+y^2)] i+[x^2 y1+y^2+x y+2 y] j
Seja
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
onde
gamma é a semicircunferência
x^2+y^2=1 ,
y>=0 , orientada de
(1,0) a
(-1,0) , e
Vamos aplicar o Teorema de Green fechando
gamma pelo segmento retilíneo de
(-1,0) a
(1,0) , de modo a formar a fronteira positiva (sentido anti-horário) do meio-disco superior.
Passo 2
Denotemos por
Gamma a curva fechada que é a união de
gamma (semicírculo) e do segmento
C de
(-1,0) a
(1,0) . Pelo Teorema de Green:
onde
P(x,y)=e^x + xln(1+y^2) e
Q(x,y)=x^2y1+y^2+xy+2y , e
R é o meio-disco
x^2+y^2<=1,;y>=0 . Note que
Passo 3
Calculemos o integrando de Green:
Logo
Passo 4
Aplicando em coordenadas polares (
x=rcostheta ,
y=rsintheta ), para
0<= r<=1 ,
0<=theta<=pi :
Portanto
Passo 5
Agora calculemos a integral sobre o segmento
C : parametrize por
x=t ,
y=0 ,
tin[-1,1] . Então
dx=dt ,
dy=0 e
Assim
Passo 6
Da relação
vem