Resolva as seguintes recorrências lineares de 1^{\mathrm{a}} ordem.
\left\{\begin{array}{c}x_{1}=\frac{1}{2} \\\ x_{n+1}=-4 x_{n}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a recorrência linear homogênea de primeira ordem
x_{n+1} = -4\,x_{n}
com condição inicial x_{1}=\tfrac12. O conteúdo aqui é reconhecer que toda recorrência do tipo
x_{n+1}=r\,x_{n}
gera uma progressão geométrica de razão r.

Passo 2

Para uma progressão geométrica vale
\frac{x_{n+1}}{x_{n}} = r,
logo aqui r=-4. A solução geral de uma recorrência homogênea de primeira ordem é
x_{n} = C\,r^{\,n-1},
onde C é uma constante determinada pela condição inicial.

Passo 3

Usando x_{1}=\tfrac12 em
x_{1} = C\,r^{\,1-1} = C\cdot(-4)^{0} = C,
vemos que C=\tfrac12. Portanto
x_{n} = \tfrac12\,(-4)^{\,n-1}.

Resposta

x_{n} = \frac{1}{2}\,(-4)^{\,n-1}.

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