Resolva as seguintes recorrências lineares de 1^{\mathrm{a}} ordem.
\left\{\begin{array}{c}x_{1}=1 \\\ x_{n+1}=x_{n}+6^{n}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a recorrência de primeira ordem não-homogênea
\begin{cases} x_{1}=1,\\\ x_{n+1}=x_{n}+6^{n}, \end{cases}
para n\ge1.
Conteúdo: usar soma telescópica e fórmula da soma geométrica para encontrar a solução fechada x_n.

Passo 2

Reescrevemos a recorrência de modo a somar as diferenças telescópicas. Para n\ge2, temos
x_{n}-x_{1} =\sum_{k=1}^{n-1}\bigl(x_{k+1}-x_{k}\bigr) =\sum_{k=1}^{n-1}6^{k}.

Passo 3

Aplicamos a fórmula da soma de uma progressão geométrica de razão 6:
\sum_{k=1}^{n-1}6^{k} =\frac{6^{n}-6}{6-1} =\frac{6^{n}-6}{5}.

Passo 4

Substituindo em x_{n}-x_{1} e usando x_{1}=1, obtemos
x_{n}=1+\frac{6^{n}-6}{5} =\frac{5+6^{n}-6}{5} =\frac{6^{n}-1}{5}.

Passo 5

Verificação rápida para n=1:
x_{1}=\frac{6^{1}-1}{5}=\frac{5}{5}=1,
bate com a condição inicial.

Resposta

x_{n}=\frac{6^{n}-1}{5}.

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