Resolva as seguintes recorrências lineares de 1^{\mathrm{a}} ordem.
\left\{\begin{array}{c}x_{1}=2 \\\ x_{n+1}=x_{n}+\frac{n}{3}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a recorrência linear de primeira ordem não homogênea
\begin{cases} x_{1} = 2,\\\ x_{n+1} = x_{n} + \dfrac{n}{3}. \end{cases}
Queremos encontrar uma fórmula fechada para x_{n}. Vamos usar o método de soma telescópica.

Passo 2

Definimos a diferença
\Delta x_{k} = x_{k+1} - x_{k} = \frac{k}{3}.
Somando essa igualdade de k=1 até k=n-1, obtemos
\sum_{k=1}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k}) = \sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{3}.
No lado esquerdo a soma telescopa:
\sum_{k=1}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k}) = x_{n} - x_{1}.

Passo 3

Calculamos a soma no lado direito:
\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{3} = \frac{1}{3}\sum_{k=1}^{n-1}k = \frac{1}{3}\cdot\frac{(n-1)n}{2} = \frac{n(n-1)}{6}.
Logo
x_{n} - x_{1} = \frac{n(n-1)}{6}.

Passo 4

Usando x_{1}=2, temos
x_{n} = x_{1} + \frac{n(n-1)}{6} = 2 + \frac{n(n-1)}{6}.

Resposta

x_{n} = 2 + \frac{n(n-1)}{6}.

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