Utilize um software* computacional para graficar o campo de direções das equações diferenciais a seguir, encontre a solução geral em cada caso e grafique também algumas curvas integrais sobre o campo:
*Pode usar o Desmos para graficar os Campos de direções online no link aqui
*Pode usar o Desmos para graficar os Campos de direções online no link aqui
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede que a gente (1) encontre a solução geral por métodos analíticos e (2) plote o campo de direções e algumas curvas integrais usando um software (por exemplo, o Desmos). O conteúdo é “equação separável” e vamos usar separação de variáveis.
Passo 2
Separe as variáveis escrevendo
Agora integramos os dois lados.
Passo 3
Calcule a integral de cada membro:
Como ambos os lados diferem apenas por constante, podemos juntar
e
num único
, obtendo a forma implícita
Passo 4
Isolando
, temos a solução geral explícita
onde
é a constante de integração. Cada valor de
gera uma família de curvas integrais.
Passo 5
Para visualizar no Desmos (ou outro software):
- Abra o app de campo de direções online e entre com
. - Para desenhar curvas integrais, adicione expressões do tipo
escolhendo alguns valores de
(por exemplo,
).
Isso sobrepõe as soluções exatas às setinhas do campo de direções, mostrando como cada curva segue o campo.
Isso sobrepõe as soluções exatas às setinhas do campo de direções, mostrando como cada curva segue o campo.