Utilize um software* computacional para graficar o campo de direções das equações diferenciais a seguir, encontre a solução geral em cada caso e grafique também algumas curvas integrais sobre o campo:
*Pode usar o Desmos para graficar os Campos de direções online no link aqui
y^{\prime}(x)=x^{2}\left(1+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y'(x)=x^{2}\bigl(1+y(x)^{2}\bigr)
e pede que a gente (1) encontre a solução geral por métodos analíticos e (2) plote o campo de direções e algumas curvas integrais usando um software (por exemplo, o Desmos). O conteúdo é “equação separável” e vamos usar separação de variáveis.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo
\frac{dy}{dx}=x^{2}(1+y^{2}) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{1+y^{2}}=x^{2}\,dx.
Agora integramos os dois lados.

Passo 3

Calcule a integral de cada membro:
\int \frac{dy}{1+y^{2}} =\arctan(y)+C_{1}, \qquad \int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}+C_{2}.
Como ambos os lados diferem apenas por constante, podemos juntar C_{1} e C_{2} num único C, obtendo a forma implícita
\arctan\bigl(y(x)\bigr)=\frac{x^{3}}{3}+C.

Passo 4

Isolando y, temos a solução geral explícita
y(x)=\tan\!\Bigl(\frac{x^{3}}{3}+C\Bigr),
onde C\in\mathbb{R} é a constante de integração. Cada valor de C gera uma família de curvas integrais.

Passo 5

Para visualizar no Desmos (ou outro software):
  1. Abra o app de campo de direções online e entre com \displaystyle \frac{dy}{dx}=x^{2}(1+y^{2}).
  2. Para desenhar curvas integrais, adicione expressões do tipo
y=\tan\!\Bigl(\frac{x^{3}}{3}+C_{i}\Bigr)
escolhendo alguns valores de C_{i} (por exemplo, C=0,\pm1,\pm\frac{\pi}{4}).
Isso sobrepõe as soluções exatas às setinhas do campo de direções, mostrando como cada curva segue o campo.

Resposta

\boxed{y(x)=\tan\!\Bigl(\tfrac{x^{3}}{3}+C\Bigr),\quad C\in\mathbb{R}.}

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