Resolva os seguintes sistemas. Classifique-os. \left\{\begin{aligned} 2 x-y+3 z & =11 \\\\ 4 x-3 y+2 z & =6 \\\ x+y+z & =0 \\\\ 3 x+y+z & =4\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado dá um sistema de quatro equações com três incógnitas e pede para resolvê‑lo e classificá‑lo. As equações são:
\begin{cases} 2x - y + 3z = 11,\\[4pt] 4x - 3y + 2z = 6,\\[4pt] x + y + z = 0,\\[4pt] 3x + y + z = 4. \end{cases}
Informações relevantes que vou usar:
As incógnitas são x, y e z.
Há 4 equações e 3 incógnitas (sistema possivelmente sobredeterminado).
Preciso determinar se existe solução; se existir, encontrar todas as soluções; se não existir, declarar incompatibilidade.]
Passo 2
Vou resolver por eliminação de Gauss (também chamada eliminação por linhas): montamos a matriz aumentada e aplicamos operações elementares sobre linhas para chegar a uma forma triangular, que facilita ver soluções ou contradições. A matriz aumentada inicial (colunas: x,y,z e termo independente) é
Operações elementares permitidas: trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra. Vou escolher a linha com coeficiente 1 em x (a terceira) como pivô para evitar frações logo de cara: troco a linha 1 com a linha 3.]
Passo 3
Após trocar R_1 \leftrightarrow R_3 (onde R_i é a linha i), a matriz fica
Agora uso a segunda linha (atual) para pivotar na coluna y. Para simplificar, troco R_2 com R_3 porque R_3 tem coeficiente -3 em y, que é menor em magnitude e dará menores frações. Fazendo R_2 \leftrightarrow R_3,
Agora as últimas duas linhas são equações somente em z:
Da linha 3: -13z = -59 que dá \;z = \dfrac{59}{13}.
Da linha 4: -8z = -10 que dá \;z = \dfrac{10}{8} = \dfrac{5}{4}.
Estas duas expressões dão valores diferentes para z. Como uma única incógnita não pode ter dois valores distintos simultaneamente, há uma contradição. Concluímos que o sistema não admite solução.
Passo 6
Explicando com o conceito de posto (rank) para reforçar a classificação: seja A a matriz dos coeficientes e (A|b) a matriz aumentada. Na forma escalonada vimos que a matriz dos coeficientes tem três colunas e conseguimos pivôs nas três colunas (x,y,z), então \operatorname{rank}(A)=3. Já a matriz aumentada tem, nas duas últimas linhas, os vetores [0,0,-13,-59] e [0,0,-8,-10] que não são múltiplos um do outro (porque \dfrac{-13}{-8}\neq \dfrac{-59}{-10}), então as linhas da matriz aumentada são linearmente independentes de forma a aumentar o posto para \operatorname{rank}(A|b)=4. Como \operatorname{rank}(A)\neq\operatorname{rank}(A|b), pelo teorema de Rouché–Capelli o sistema é incompatível (não tem solução).
Passo 7
Resumo prático e motivador: encontramos duas equações finais contraditórias para z — um sinal clássico de que não existe solução — então o sistema é incompatível. Não se culpe; sistemas sobre-determinados frequentemente apresentam esse tipo de inconsistência.