Resolva os seguintes sistemas. Classifique-os.
\left\{\begin{aligned} 2 x-y+3 z & =11 \\\\ 4 x-3 y+2 z & =6 \\\ x+y+z & =0 \\\\ 3 x+y+z & =4\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de quatro equações com três incógnitas e pede para resolvê‑lo e classificá‑lo. As equações são:
\begin{cases} 2x - y + 3z = 11,\\[4pt] 4x - 3y + 2z = 6,\\[4pt] x + y + z = 0,\\[4pt] 3x + y + z = 4. \end{cases}
Informações relevantes que vou usar:
  • As incógnitas são x, y e z.
  • 4 equações e 3 incógnitas (sistema possivelmente sobredeterminado).
  • Preciso determinar se existe solução; se existir, encontrar todas as soluções; se não existir, declarar incompatibilidade.]

Passo 2

Vou resolver por eliminação de Gauss (também chamada eliminação por linhas): montamos a matriz aumentada e aplicamos operações elementares sobre linhas para chegar a uma forma triangular, que facilita ver soluções ou contradições. A matriz aumentada inicial (colunas: x,y,z e termo independente) é
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 3 & 11\\[4pt] 4 & -3 & 2 & 6\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 3 & 1 & 1 & 4 \end{array}\right].
Operações elementares permitidas: trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra. Vou escolher a linha com coeficiente 1 em x (a terceira) como pivô para evitar frações logo de cara: troco a linha 1 com a linha 3.]

Passo 3

Após trocar R_1 \leftrightarrow R_3 (onde R_i é a linha i), a matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 4 & -3 & 2 & 6\\[4pt] 2 & -1 & 3 & 11\\[4pt] 3 & 1 & 1 & 4 \end{array}\right].
Agora elimino a coluna x nas linhas 2, 3 e 4 usando R_1:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 4R_1,
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1,
  • R_4 \leftarrow R_4 - 3R_1.
Calculemos cada uma:
  • R_2: [4,-3,2,6] - 4[1,1,1,0] = [0,-7,-2,6].
  • R_3: [2,-1,3,11] - 2[1,1,1,0] = [0,-3,1,11].
  • R_4: [3,1,1,4] - 3[1,1,1,0] = [0,-2,-2,4].
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -7 & -2 & 6\\[4pt] 0 & -3 & 1 & 11\\[4pt] 0 & -2 & -2 & 4 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora uso a segunda linha (atual) para pivotar na coluna y. Para simplificar, troco R_2 com R_3 porque R_3 tem coeficiente -3 em y, que é menor em magnitude e dará menores frações. Fazendo R_2 \leftrightarrow R_3,
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -3 & 1 & 11\\[4pt] 0 & -7 & -2 & 6\\[4pt] 0 & -2 & -2 & 4 \end{array}\right].
Agora elimino o y das linhas 3 e 4 usando R_2:
  • Para zerar o -7 em R_3: R_3 \leftarrow R_3 - \dfrac{7}{3}R_2.
  • Para zerar o -2 em R_4: R_4 \leftarrow R_4 - \dfrac{2}{3}R_2.
Façamos as contas (mostrando passo a passo):
  • Para R_3:
    • coeficiente de y: -7 - \dfrac{7}{3}(-3) = -7 +7 = 0.
    • coeficiente de z: -2 - \dfrac{7}{3}\cdot 1 = -2 - \dfrac{7}{3} = -\dfrac{13}{3}.
    • termo independente: 6 - \dfrac{7}{3}\cdot 11 = 6 - \dfrac{77}{3} = -\dfrac{59}{3}.
      Assim R_3 = [0,0,-\tfrac{13}{3}, -\tfrac{59}{3}]. Multiplicando por 3 para ficar inteiro: [0,0,-13,-59].
  • Para R_4:
    • coeficiente de y: -2 - \dfrac{2}{3}(-3) = -2 +2 = 0.
    • coeficiente de z: -2 - \dfrac{2}{3}\cdot 1 = -2 - \dfrac{2}{3} = -\dfrac{8}{3}.
    • termo independente: 4 - \dfrac{2}{3}\cdot 11 = 4 - \dfrac{22}{3} = -\dfrac{10}{3}.
      Assim R_4 = [0,0,-\tfrac{8}{3}, -\tfrac{10}{3}]. Multiplicando por 3: [0,0,-8,-10].
A matriz escalonada (com algumas linhas multiplicadas por 3 para clareza) é equivalente a
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -3 & 1 & 11\\[4pt] 0 & 0 & -13 & -59\\[4pt] 0 & 0 & -8 & -10 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora as últimas duas linhas são equações somente em z:
  • Da linha 3: -13z = -59 que dá \;z = \dfrac{59}{13}.
  • Da linha 4: -8z = -10 que dá \;z = \dfrac{10}{8} = \dfrac{5}{4}.
Estas duas expressões dão valores diferentes para z. Como uma única incógnita não pode ter dois valores distintos simultaneamente, há uma contradição. Concluímos que o sistema não admite solução.

Passo 6

Explicando com o conceito de posto (rank) para reforçar a classificação: seja A a matriz dos coeficientes e (A|b) a matriz aumentada. Na forma escalonada vimos que a matriz dos coeficientes tem três colunas e conseguimos pivôs nas três colunas ( x,y,z), então \operatorname{rank}(A)=3. Já a matriz aumentada tem, nas duas últimas linhas, os vetores [0,0,-13,-59] e [0,0,-8,-10] que não são múltiplos um do outro (porque \dfrac{-13}{-8}\neq \dfrac{-59}{-10}), então as linhas da matriz aumentada são linearmente independentes de forma a aumentar o posto para \operatorname{rank}(A|b)=4. Como \operatorname{rank}(A)\neq\operatorname{rank}(A|b), pelo teorema de Rouché–Capelli o sistema é incompatível (não tem solução).

Passo 7

Resumo prático e motivador: encontramos duas equações finais contraditórias para z — um sinal clássico de que não existe solução — então o sistema é incompatível. Não se culpe; sistemas sobre-determinados frequentemente apresentam esse tipo de inconsistência.

Resposta

Sistema incompatível (sem solução).

Exercícios relacionados