Resolva os seguintes sistemas. Classifique-os.
\left\{\begin{aligned} x+4 y-z & =12 \\\\ 3 x+8 y-2 z & =4\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema e classificá-lo. As informações dadas são as duas equações com três incógnitas:
\begin{cases} x+4y-z=12,\\[4pt] 3x+8y-2z=4. \end{cases}
Devemos encontrar todos os pares (x,y,z) que satisfazem ambas as equações e dizer se o sistema é possível/impossível e determinado/indeterminado.]

Passo 2

Vamos eliminar uma variável para facilitar. Aqui é natural eliminar x porque ele aparece com coeficientes simples. Multiplico a primeira equação por -3 e somo com a segunda:
-3(x+4y-z) = -3\cdot 12 \implies -3x-12y+3z=-36.
Agora somo com a segunda equação (3x+8y-2z=4):
(3x+8y-2z)+(-3x-12y+3z) = 4+(-36).

Passo 3

Faço as somas termo a termo na linha anterior:
(3x-3x) + (8y-12y) + (-2z+3z) = -32,
ou seja
-4y + z = -32.
Essa equação relaciona z e y.

Passo 4

Isolo z em função de y:
z = 4y - 32.
Agora substituo essa expressão em uma das equações originais para encontrar x. Uso a primeira equação x+4y-z=12:
x+4y-(4y-32)=12.

Passo 5

Calculo passo a passo a substituição:
x+4y-4y+32=12 \implies x+32=12 \implies x=-20.
Portanto x é fixo em -20, enquanto y ainda não foi determinado por nenhuma equação independente restante.

Passo 6

Como sobraram menos equações do que incógnitas (duas equações, três incógnitas) e as equações são compatíveis entre si (não deram contradição), temos uma família infinita de soluções parametrizada por um parâmetro livre. Chamo y de parâmetro t\in\mathbb{R}. Então
y=t,\qquad z=4t-32,\qquad x=-20.
Uma forma compacta da solução é
(x,y,z)=(-20,t,4t-32),\qquad t\in\mathbb{R}.

Passo 7

Breve verificação (importante na prova): substituindo a solução geral em cada equação obtemos
x+4y-z = -20+4t-(4t-32)=12
e
3x+8y-2z = -60+8t-2(4t-32)=4,
logo ambas são satisfeitas para todo t.

Passo 8

Classificação do sistema: as duas equações são linearmente independentes (a segunda não é múltipla da primeira), então a matriz de coeficientes tem posto 2. O posto da matriz aumentada também é 2. Como \text{posto}=2 < \text{nº de incógnitas}=3ºó, o sistema é compatível indeterminado (possui infinitas soluções).

Resposta

(x,y,z)=(-20,t,4t-32),\quad t\in\mathbb{R}.
Sistema possível indeterminado (infinitas soluções).

Exercícios relacionados