Resolva os seguintes sistemas. Classifique-os.
\left\{\begin{aligned} 3 x+3 y-2 z-t & =2 \\\\ 5 x+2 y+z-2 t & =1 \\\\ 2 x-y+3 z-t & =-1\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema e classificá‑lo. As incógnitas são x,y,z,t\). O sistema dado é: \[\begin{cases} 3x+3y-2z-t=2,\\[4pt] 5x+2y+z-2t=1,\\[4pt] 2x-y+3z-t=-1. \end{cases}
Informações relevantes que temos: são três equações lineares em quatro incógnitas ((x,y,z,t]). Devemos encontrar todas as soluções (se existirem) e dizer se o sistema é possível determinado, possível indeterminado ou impossível.]

Passo 2

Estratégia: como há quatro incógnitas e três equações, é natural esperar variáveis livres (soluções infinitas) ou inconsistente. Vou reescrever cada equação isolando os termos com x,y,z do termo com t, tratando t como parâmetro inicialmente. Assim obtemos um sistema linear em (x,y,z) com o lado direito dependendo de t:
\begin{aligned} 3x+3y-2z &= 2+t,\\[4pt] 5x+2y+z &= 1+2t,\\[4pt] 2x-y+3z &= -1+t. \end{aligned}
Chamo a matriz dos coeficientes de x,y,z de A:
A=\begin{pmatrix}3 & 3 & -2\\[4pt]5 & 2 & 1\\[4pt]2 & -1 & 3\end{pmatrix}.
Vou verificar se A é invertível (determinante diferente de zero). Se for invertível, para cada t existe solução única em x,y,z; se não for, precisamos verificar consistência.]

Passo 3

Calculo o determinante de A. Usando a regra de Sarrus/expansão:
\det(A)=3\begin{vmatrix}2 & 1\\[4pt]-1 & 3\end{vmatrix}-3\begin{vmatrix}5 & 1\\[4pt]2 & 3\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}5 & 2\\[4pt]2 & -1\end{vmatrix}.
Calculo cada menor:
\begin{aligned} \begin{vmatrix}2 & 1\\[4pt]-1 & 3\end{vmatrix}&=2\cdot3-1\cdot(-1)=6+1=7,\\[4pt] \begin{vmatrix}5 & 1\\[4pt]2 & 3\end{vmatrix}&=5\cdot3-1\cdot2=15-2=13,\\[4pt] \begin{vmatrix}5 & 2\\[4pt]2 & -1\end{vmatrix}&=5\cdot(-1)-2\cdot2=-5-4=-9. \end{aligned}
Logo
\det(A)=3\cdot7-3\cdot13-2\cdot(-9)=21-39+18=0.
Portanto A é singular (determinante zero). Isso significa que as três equações em x,y,z não são linearmente independentes: há combinação linear das linhas de A que dá zero. Vou encontrar essa relação para entender o posto.]

Passo 4

Observe diretamente uma combinação das linhas originais: calcule \text{(linha 1)} - \text{(linha 2)} + \text{(linha 3)} (aplica‑se às colunas de coeficientes):
(3,3,-2)-(5,2,1)+(2,-1,3)=(0,0,0).
Isto mostra que as três linhas são linearmente dependentes, então \operatorname{posto}(A)\le 2. Agora verifico se a mesma combinação aplicada ao lado direito dá zero, para checar consistência:
(2+t)-(1+2t)+(-1+t)=2+t-1-2t-1+t=0.
Como a combinação aplicada ao vetor de termos independentes também dá zero, a combinação entre equações preserva a consistência; logo o sistema é consistente e não contraditório. Concluímos:
\operatorname{posto}(A)=\operatorname{posto}(\text{matriz aumentada})=2.
Número de incógnitas é 4, então o número de graus de liberdade (variáveis livres) é 4-2=2. Logo o sistema tem infinitas soluções parametrizadas por duas variáveis livres.

Passo 5

Para encontrar a solução geral, tomo duas das equações independentes e resolvo por eliminação em função de duas variáveis livres. Uso as duas primeiras equações (já com os termos em t no lado direito):
\begin{aligned} 3x+3y-2z&=2+t,\\[4pt] 5x+2y+z&=1+2t. \end{aligned}
Vou eliminar x. Multiplico a primeira por 5 e a segunda por 3 e subtraio:
5(3x+3y-2z)-3(5x+2y+z)=5(2+t)-3(1+2t).
Calculo cada lado:
\begin{aligned} 15x+15y-10z-(15x+6y+3z)&=(10+5t)-(3+6t),\\[4pt] (15x-15x)+(15y-6y)+(-10z-3z)&=7- t,\\[4pt] 9y-13z&=7-t. \end{aligned}
Assim obtenho
9y=7-t+13z\quad\Rightarrow\quad y=\frac{7-t+13z}{9}.]

Passo 6

Agora encontro x substituindo y em uma das equações, por exemplo na primeira:
3x+3y-2z=2+t \quad\Rightarrow\quad 3x=2+t+2z-3y.
Substituo y:
3x=2+t+2z-3\cdot\frac{7-t+13z}{9}.
Calculo o termo com 3y:
3\cdot\frac{7-t+13z}{9}=\frac{7-t+13z}{3}.
Então
3x=\frac{3(2+t+2z)- (7-t+13z)}{3}=\frac{6+3t+6z-7+t-13z}{3}=\frac{-1+4t-7z}{3}.
Dividindo por 3:
x=\frac{-1+4t-7z}{9}=\frac{4t-7z-1}{9}.

Passo 7

Concluímos as expressões de x e y em termos de z e t:
\boxed{\,x=\dfrac{4t-7z-1}{9},\qquad y=\dfrac{7-t+13z}{9},\qquad z \text{ livre},\qquad t \text{ livre}\,}.
Para escrever de forma paramétrica, introduzo parâmetros \lambda,\mu\in\mathbb{R} com z=\lambda e t=\mu. Assim a solução geral é
\begin{aligned} x&=\dfrac{4\mu-7\lambda-1}{9},\\[4pt] y&=\dfrac{7-\mu+13\lambda}{9},\\[4pt] z&=\lambda,\\[4pt] t&=\mu, \end{aligned}
com \lambda,\mu\in\mathbb{R}.
Também explico rapidamente a classificação final: como \operatorname{posto}(A)=\operatorname{posto}(\text{aumentada})=2<4, o sistema é possível indeterminado (tem infinitas soluções, dimensão do espaço de soluções igual a 2).]

Resposta

x=\dfrac{4t-7z-1}{9},\quad y=\dfrac{7-t+13z}{9},\quad z livre, \;t livre.
Sistema possível indeterminado (infinitas soluções); \operatorname{posto}=2; duas variáveis livres.

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