O enunciado pede para resolver o sistema e classificá‑lo. As incógnitas são x,y,z,t\). O sistema dado é:
\[\begin{cases} 3x+3y-2z-t=2,\\[4pt] 5x+2y+z-2t=1,\\[4pt] 2x-y+3z-t=-1. \end{cases}
Informações relevantes que temos: são três equações lineares em quatro incógnitas ((x,y,z,t]). Devemos encontrar todas as soluções (se existirem) e dizer se o sistema é possível determinado, possível indeterminado ou impossível.]
Passo 2
Estratégia: como há quatro incógnitas e três equações, é natural esperar variáveis livres (soluções infinitas) ou inconsistente. Vou reescrever cada equação isolando os termos com x,y,z do termo com t, tratando t como parâmetro inicialmente. Assim obtemos um sistema linear em (x,y,z) com o lado direito dependendo de t:
Vou verificar se A é invertível (determinante diferente de zero). Se for invertível, para cada t existe solução única em x,y,z; se não for, precisamos verificar consistência.]
Passo 3
Calculo o determinante de A. Usando a regra de Sarrus/expansão:
Portanto A é singular (determinante zero). Isso significa que as três equações em x,y,z não são linearmente independentes: há combinação linear das linhas de A que dá zero. Vou encontrar essa relação para entender o posto.]
Passo 4
Observe diretamente uma combinação das linhas originais: calcule \text{(linha 1)} - \text{(linha 2)} + \text{(linha 3)} (aplica‑se às colunas de coeficientes):
(3,3,-2)-(5,2,1)+(2,-1,3)=(0,0,0).
Isto mostra que as três linhas são linearmente dependentes, então \operatorname{posto}(A)\le 2. Agora verifico se a mesma combinação aplicada ao lado direito dá zero, para checar consistência:
(2+t)-(1+2t)+(-1+t)=2+t-1-2t-1+t=0.
Como a combinação aplicada ao vetor de termos independentes também dá zero, a combinação entre equações preserva a consistência; logo o sistema é consistente e não contraditório. Concluímos:
Número de incógnitas é 4, então o número de graus de liberdade (variáveis livres) é 4-2=2. Logo o sistema tem infinitas soluções parametrizadas por duas variáveis livres.
Passo 5
Para encontrar a solução geral, tomo duas das equações independentes e resolvo por eliminação em função de duas variáveis livres. Uso as duas primeiras equações (já com os termos em t no lado direito):
Também explico rapidamente a classificação final: como \operatorname{posto}(A)=\operatorname{posto}(\text{aumentada})=2<4, o sistema é possível indeterminado (tem infinitas soluções, dimensão do espaço de soluções igual a 2).]
Resposta
x=\dfrac{4t-7z-1}{9},\quad y=\dfrac{7-t+13z}{9},\quad z livre, \;t livre.
Sistema possível indeterminado (infinitas soluções); \operatorname{posto}=2; duas variáveis livres.