Resolva os seguintes sistemas. Classifique-os.
\left\{\begin{aligned} x+3 y+2 z+3 t-7 w & =14 \\\\ 2 x+6 y+z-2 t+5 w & =-2 \\\ x+3 y-2 z+3 w & =-3\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear e classificá‑lo. As equações dadas são:
\begin{cases} x+3y+2z+3t-7w=14,\\[4pt] 2x+6y+z-2t+5w=-2,\\[4pt] x+3y-2z+0\cdot t+3w=-3. \end{cases}
Informações relevantes que temos: são três equações lineares em cinco incógnitas x,y,z,t,w. Como há mais incógnitas que equações, é provável que tenhamos infinitas soluções, mas precisamos verificar e encontrar a solução geral.]

Passo 2

Estratégia: eliminar incógnitas para obter um sistema mais simples. Note que as equações 1 e 3 têm o mesmo termo x+3y; por isso é prático usar combinações lineares que eliminem x e y, ficando com equações apenas em z,t,w. Vamos formar duas novas equações combinando as dadas:
Calcule (1)-(3):
(x+3y+2z+3t-7w)-(x+3y-2z+3w)=14-(-3).
A simplificação dá
4z+3t-10w=17.
Calcule (2)-2\cdot(3):
(2x+6y+z-2t+5w)-2(x+3y-2z+3w)=-2-2(-3).
A simplificação dá
5z-2t-w=4.
Agora reduzimos parte do sistema a:
\begin{cases} 4z+3t-10w=17,\\[4pt] 5z-2t-w=4. \end{cases}]

Passo 3

Vamos resolver o sistema para z e t em função de w. Para evitar frações, multiplico a primeira equação por 2 e a segunda por 3, e somo:
Multiplicando:
\begin{aligned} 2\cdot(4z+3t-10w)&=2\cdot17\\ \Rightarrow\\\ 8z+6t-20w=34,\\[4pt] 3\cdot(5z-2t-w)&=3\cdot4\\ \Rightarrow\\\ 15z-6t-3w=12. \end{aligned}
Somando as duas:
(8z+15z)+(6t-6t)+(-20w-3w)=34+12,
resultando em
23z-23w=46.
Dividindo por 23:
z-w=2 \quad\Rightarrow\quad z=w+2.]

Passo 4

Com z=w+2, voltamos a uma das equações (por exemplo 5z-2t-w=4) para encontrar t:
5(w+2)-2t-w=4.
Desenvolvendo:
5w+10-2t-w=4 \\ \Rightarrow\\\ 4w+10-2t=4.
Isolando t:
-2t=4-10-4w=-6-4w\\ \Rightarrow\\ t=\frac{6+4w}{2}=2w+3.
Portanto temos expressões de z e t em função de w:
z=w+2,\qquad t=2w+3.

Passo 5

Agora use uma das equações originais para relacionar x e y (e w). Use, por exemplo, a equação 3:
x+3y-2z+3w=-3.
Substituindo z=w+2:
x+3y-2(w+2)+3w=-3.
Simplificando:
x+3y-2w-4+3w=-3 \\ \Rightarrow\\ x+3y+w-4=-3.
Logo
x+3y+w=1 \quad\Rightarrow\quad x+3y=1-w.
Observação: se usarmos a equação 1 com as expressões de z e t, obtemos a mesma relação x+3y=1-w. Isso mostra consistência entre as três equações.

Passo 6

Conclusão sobre graus de liberdade e parametrização. Temos cinco incógnitas e conseguimos reduzir o sistema a três equações independentes:
\begin{aligned} x+3y&=1-w,\\\ z&=w+2,\\\ t&=2w+3. \end{aligned}
Isto significa que podemos escolher dois parâmetros livres. Uma escolha natural é tomar w e y como parâmetros livres. Denotemos
w=s,\qquad y=r,
onde r,s\in\mathbb{R} são parâmetros arbitrários. Então
x=1-w-3y=1-s-3r,
z=w+2=s+2,
t=2w+3=2s+3.

Passo 7

Interpretação final e classificação: há infinitas soluções (dois graus de liberdade). O posto (rank) da matriz dos coeficientes é 3 (há três equações lineares independentes entre as cinco incógnitas), portanto o sistema é possível indeterminado. A solução geral foi obtida parametrizada por r e s.

Resposta

x=1-s-3r \\ (r,s\in\mathbb{R})
y=r \\ (r\in\mathbb{R})
z=s+2 \\ (s\in\mathbb{R})
t=2s+3 \\ (s\in\mathbb{R})
w=s \\ (s\in\mathbb{R})
Sistema possível indeterminado (infinitas soluções).

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