Resolva os seguintes sistemas lineares:
\left\{\begin{array}{l} x+2 y-z=3 \\\\ 2 x-y+z=1 \\\\ 3 x+y+2 z=8 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} x + 2y - z = 3,\\\\ 2x - y + z = 1,\\\\ 3x + y + 2z = 8. \end{cases}
O conteúdo envolvido é resolução de sistemas lineares pelo método de substituição e eliminação.

Passo 2

Escolhemos isolar x na primeira equação. Da primeira linha temos
x = 3 - 2y + z.

Passo 3

Substituímos essa expressão de x na segunda e na terceira equações, obtendo duas equações em y e z apenas.
Na segunda equação:
2x - y + z = 1 \quad\Longrightarrow\quad 2(3 - 2y + z) - y + z = 1
6 - 4y + 2z - y + z = 1 \quad\Longrightarrow\quad -5y + 3z = -5 \quad\Longrightarrow\quad 5y - 3z = 5.
Na terceira equação:
3x + y + 2z = 8 \quad\Longrightarrow\quad 3(3 - 2y + z) + y + 2z = 8
9 - 6y + 3z + y + 2z = 8 \quad\Longrightarrow\quad -5y + 5z = -1 \quad\Longrightarrow\quad 5y - 5z = 1.

Passo 4

Agora temos o sistema em y e z:
\begin{cases} 5y - 3z = 5,\\\\ 5y - 5z = 1. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira:
(5y - 3z) - (5y - 5z) = 5 - 1 \quad\Longrightarrow\quad 2z = 4 \quad\Longrightarrow\quad z = 2.

Passo 5

Com z=2, voltamos à equação 5y - 3z = 5:
5y - 3\cdot2 = 5 \quad\Longrightarrow\quad 5y - 6 = 5 \quad\Longrightarrow\quad 5y = 11 \quad\Longrightarrow\quad y = \tfrac{11}{5}.

Passo 6

Finalmente, usamos y=\tfrac{11}{5} e z=2 na expressão isolada para x:
x = 3 - 2\Bigl(\tfrac{11}{5}\Bigr) + 2 = 3 - \tfrac{22}{5} + 2 = 5 - \tfrac{22}{5} = \tfrac{3}{5}.

Resposta

(x,y,z) = \bigl(\tfrac{3}{5},\,\tfrac{11}{5},\,2\bigr).

Exercícios relacionados