Resolva os sistemas abaixo e classifique-os como SPS, SPI ou SI. \left\{\begin{array}{l}x-2 y+z+t=1 \\\\ 2 x+y-2 z+2 t=0 \\\ x+6 y=-2\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) resolver o sistema linear e (2) classificá-lo como SPS (sistema possível e determinado), SPI (sistema possível e indeterminado) ou SI (sistema impossível).\n
As equações dadas são:
Informações relevantes fornecidas: há 4 incógnitas (x,y,z,t) e 3 equações. Isso já sugere que, se o sistema for compatível, é provável que tenhamos infinitas soluções (uma família com parâmetro), mas precisamos resolver para confirmar.]
Passo 2
Escolha do método: não foi imposto um método no enunciado. Aqui vou usar substituição simples porque a terceira equação envolve apenas x e y, então é conveniente isolar x nela e substituir nas outras duas. Isso reduz rapidamente o número de incógnitas nas outras equações. Explico a ideia: isolar uma variável numa equação simples e substituir nas restantes é uma estratégia clássica para reduzir o sistema; ao final teremos um sistema menor para resolver.
Passo 3
Isolando x da terceira equação. A terceira equação é
x+6y=-2.
Isolando x obtemos
x=-2-6y.
Aqui explico: isolamos x somando -6y em ambos os lados para deixá-lo sozinho.
Passo 4
Substituímos x=-2-6y nas outras duas equações. Primeiro na primeira equação:
x-2y+z+t=1.
Substituindo x dá
(-2-6y)-2y+z+t=1.
Agora simplificamos os termos em y:
-2-8y+z+t=1.
Passamos o -2 para o outro lado (somando 2 aos dois lados):
-8y+z+t=3.
Reescrevendo de forma mais direta:
z+t=8y+3.
Isso será uma das duas equações que ligam z e t com y.
Passo 5
Agora substituímos x=-2-6y na segunda equação:
2x+y-2z+2t=0.
Substituindo x dá
2(-2-6y)+y-2z+2t=0.
Calculamos passo a passo: 2(-2-6y)=-4-12y. Então
-4-12y+y-2z+2t=0.
Agrupando y:
-4-11y-2z+2t=0.
Passamos -4 para o outro lado (somando 4 aos dois lados):
-11y-2z+2t=4.
Para ficar mais claro:
-2z+2t=4+11y.
Temos assim a segunda equação que relaciona z, t e y.
Passo 6
Agora resolvemos o sistema 2×2 para z\) e \(t\) em função de \(y\). As duas equações obtidas são:
\[\begin{cases} z+t=8y+3,\\[4pt] -2z+2t=4+11y. \end{cases}
Uma maneira prática é isolar (t] da primeira e substituir na segunda. Da primeira: t=8y+3-z.]
Passo 7
Substituímos t=8y+3-z na segunda equação:
-2z+2(8y+3-z)=4+11y.
Desenvolvendo o parêntese:
-2z+16y+6-2z=4+11y.
Somando os termos em z:
-4z+16y+6=4+11y.
Passamos os termos em y para um lado e os constantes para o outro: subtrair 11y e subtrair 6 de ambos os lados:
-4z+(16y-11y)=4-6.
Isso dá
-4z+5y=-2.
Multiplicando ambos os lados por -1 para ficar com coeficiente positivo em z:
4z-5y=2.
Passo 8
Isolamos z na equação 4z-5y=2:
4z=2+5y,
portanto
z=\frac{2+5y}{4}.
Expliquei: dividimos ambos os lados por 4 para obter z em função de y.
Passo 9
Agora voltamos à expressão de t que tínhamos: t=8y+3-z. Substituímos z=\dfrac{2+5y}{4}:
t=8y+3-\frac{2+5y}{4}.
Para somar/subtrair frações, colocamos tudo sobre o mesmo denominador 4. Escrevendo 8y+3 como \dfrac{32y+12}{4} (porque 8y=\dfrac{32y}{4} e 3=\dfrac{12}{4}):
Para escrever de forma padrão, podemos definir o parâmetro (,s:=y\in\mathbb{R}] e obter: \begin{cases} x=-2-6s,\\[4pt] y=s,\\[4pt] z=\dfrac{2+5s}{4},\\[4pt] t=\dfrac{27s+10}{4},\quad s\in\mathbb{R}. \end{cases}]
Passo 11
Verificação rápida (útil em prova): escolhemos s=0 e obtemos x=-2, y=0, z=\tfrac{2}{4}=\tfrac12, t=\tfrac{10}{4}=\tfrac52. Substituindo nas equações originais confirma-se que todas são satisfeitas, então a parametrização está correta.
Passo 12
Classificação do sistema: como existe uma família infinita de soluções parametrizada por s\in\mathbb{R}, o sistema é possível e indeterminado — ou seja, é um SPI.