Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o método da eliminação de Gauss:
x+2 y+z & =8 -x-2 y+3 z & =1 3 x-7 y+4 z & =10

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método da eliminação de Gauss. A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente sistemas de equações. Para resolver, vamos precisar transformar o sistema em uma matriz aumentada e, em seguida, manipular essa matriz para encontrar os valores de x , y e z .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de matriz aumentada. Isso facilita a aplicação das operações necessárias para resolver o sistema.
1 & 2 & 1 & | & 8 -1 & -2 & 3 & | & 1 3 & -7 & 4 & | & 10

Passo 3

Agora, vamos começar a eliminar as variáveis para triangular a matriz. O objetivo é ter zeros abaixo da diagonal principal. Vamos começar eliminando o x das equações segunda e terceira.
Para eliminar o x da segunda equação, podemos somar a primeira e a segunda linha:
Linha 2 + Linha 1 Linha 2
1 & 2 & 1 & | & 8 0 & 0 & 4 & | & 9 3 & -7 & 4 & | & 10

Passo 4

Agora, vamos eliminar o x da terceira equação. Para isso, vamos multiplicar a primeira linha por 3 e subtrair da terceira linha:
Linha 3 - 3 times Linha 1 Linha 3
1 & 2 & 1 & | & 8 0 & 0 & 4 & | & 9 0 & -13 & 1 & | & -14

Passo 5

Agora, observamos que a segunda linha tem 0 em y , o que indica que podemos resolver para z diretamente. Vamos dividir a segunda linha por 4 para simplificar:
Linha 2 div 4 Linha 2
1 & 2 & 1 & | & 8 0 & 0 & 1 & | & 94 0 & -13 & 1 & | & -14

Passo 6

Agora, vamos usar a segunda linha para eliminar z da terceira linha. Subtraindo a segunda linha da terceira:
Linha 3 - Linha 2 Linha 3
1 & 2 & 1 & | & 8 0 & 0 & 1 & | & 94 0 & -13 & 0 & | & -654

Passo 7

Agora, vamos resolver para y na terceira linha:
-13y = -654
Dividindo ambos os lados por -13:
y = 654 times 13 = 6552 = 54

Passo 8

Com y = 54 , vamos substituir na primeira equação para encontrar x . A primeira equação é:
x + 2(54) + z = 8
Simplificando:
x + 52 + z = 8 x + z = 8 - 52 x + z = 112
Sabemos que z = 94 da segunda linha. Então:
x + 94 = 112 x = 112 - 94 x = 224 - 94 x = 134

Resposta

A solução do sistema é:
x = 134, y = 54, z = 94

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