Sejam f: V W uma função linear, A=v1, ldots, vn uma base de V e B=w1, ldots, wm uma base de W. Estabeleça se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
Se g: V W for uma função linear tal que f(vi)=g(vi) para todo i, então g=f.

Passo 1

O enunciado está em Álgebra Linear: temos duas aplicações lineares
f,g:Vto W
e uma base A=v1,dots,vn de V.
Queremos decidir se a condição
;f(vi)=g(vi);forall i
implica f=g. Para isso, vamos usar que uma aplicação linear é totalmente determinada pelos seus valores em uma base.

Passo 2

Como A é base de V, todo vetor vin V pode ser escrito de modo único como combinação linear
v ;=; a1,v1 ;+;cdots+;an,vn,
onde a1,dots,an são escalares em K (o corpo de V).

Passo 3

Pela linearidade de f e g e usando f(vi)=g(vi) para cada i, temos
f(v) =fl(sumi=1^n ai,vir) =sumi=1^n ai,f(vi) =sumi=1^n ai,g(vi) =gl(sumi=1^n ai,vir) =g(v)

Passo 4

Como mostramos que f(v)=g(v) para todo vin V, concluímos que f=g.

Resposta

Verdadeira.

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