Sejam uma função linear, uma base de e uma base de W. Estabeleça se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
Se g: V W for uma função linear tal que f(vi)=g(vi) para todo i, então g=f.
Passo 1
O enunciado está em Álgebra Linear: temos duas aplicações lineares f,g:Vto W
e uma base A=v1,dots,vn de V.
Queremos decidir se a condição ;f(vi)=g(vi);forall i
implica f=g. Para isso, vamos usar que uma aplicação linear é totalmente determinada pelos seus valores em uma base.
Passo 2
Como A é base de V, todo vetor vin V pode ser escrito de modo único como combinação linear
v ;=; a1,v1 ;+;cdots+;an,vn,
onde a1,dots,an são escalares em K (o corpo de V).
Passo 3
Pela linearidade de f e g e usando f(vi)=g(vi) para cada i, temos