Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o método da eliminação de Gauss:
r x+2 y+3 z=0 y-3 z=0 2 x+y-z=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá um sistema de três equações lineares:
r x + 2 y + 3 z = 0 y - 3 z = 0 2 x + y - z = 0
O conteúdo que vamos usar aqui é Sistemas Lineares e o Método da Eliminação de Gauss. Basicamente, vamos transformar esse sistema em uma forma mais simples para encontrar os valores de x, y e z.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema em uma matriz aumentada, que reúne os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
1 & 2 & 3 & | & 0 0 & 1 & -3 & | & 0 2 & 1 & -1 & | & 0

Passo 3

A ideia da eliminação de Gauss é eliminar uma variável de cada vez para simplificar o sistema. Vamos começar eliminando o x da terceira equação. Para isso, usamos a primeira equação.
Multiplique a primeira equação por 2 e subtraia da terceira equação:
2 times (x + 2 y + 3 z) = 2 times 0 Rightarrow 2x + 4y + 6z = 0
Subtraindo da terceira equação:
(2x + y - z) - (2x + 4y + 6z) = 0 - 0 Rightarrow -3y -7z = 0
Então, a nova terceira equação é:
-3y -7z = 0

Passo 4

Agora, nosso sistema está assim:
r x + 2 y + 3 z = 0 y - 3 z = 0 -3 y -7 z = 0
Vamos focar nas últimas duas equações para eliminar y. Podemos multiplicar a segunda equação por 3:
3 times (y - 3 z) = 3 times 0 Rightarrow 3y - 9z = 0
Agora, somamos essa com a terceira equação:
3y - 9z + (-3y -7z) = 0 + 0 Rightarrow -16z = 0
Então, temos:
-16z = 0 Rightarrow z = 0

Passo 5

Com z = 0, podemos voltar para a segunda equação para encontrar y:
y - 3 z = 0 Rightarrow y - 0 = 0 Rightarrow y = 0

Passo 6

Agora que sabemos que y = 0 e z = 0, substituímos esses valores na primeira equação para encontrar x:
x + 2 y + 3 z = 0 Rightarrow x + 0 + 0 = 0 Rightarrow x = 0

Resposta

A solução do sistema é x = 0, y = 0 e z = 0.

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