Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o método da eliminação de Gauss:
x+2 y+z & =0 -2 x+5 y+2 z & =1 8 x+y+4 z & =-1

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver esse sistema de equações usando o método da eliminação de Gauss. Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, onde a gente aprende a resolver sistemas lineares de forma eficiente. Vamos precisar manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez até encontrar os valores de x, y e z.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada, que facilita a visualização das operações que vamos fazer:
1 & 2 & 1 & | & 0 -2 & 5 & 2 & | & 1 8 & 1 & 4 & | & -1

Passo 3

O objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal (que vai de cima à esquerda para baixo à direita) só tem zeros. Começamos pela primeira coluna.
Vamos eliminar o x das segunda e terceira equações. Para isso, usamos a primeira linha como referência.

Passo 4

Primeiro, eliminamos o x da segunda equação. Para isso, multiplicamos a primeira linha por 2 e somamos à segunda linha:
Linha2 = Linha2 + 2 times Linha1
1 & 2 & 1 & | & 0 0 & 9 & 4 & | & 1 8 & 1 & 4 & | & -1

Passo 5

Agora, eliminamos o x da terceira equação. Para isso, multiplicamos a primeira linha por -8 e somamos à terceira linha:
Linha3 = Linha3 - 8 times Linha1
1 & 2 & 1 & | & 0 0 & 9 & 4 & | & 1 0 & -15 & -4 & | & -1

Passo 6

Agora focamos na segunda coluna. Queremos que o elemento abaixo do 9 (na terceira linha) seja zero. Para isso, vamos ajustar a terceira linha usando a segunda linha.
Primeiro, encontramos um múltiplo adequado da segunda linha para eliminar o -15:
Multiplicamos a segunda linha por 159 = 53 e somamos à terceira linha:
Linha3 = Linha3 + 53 times Linha2
1 & 2 & 1 & | & 0 0 & 9 & 4 & | & 1 0 & 0 & 83 & | & -23

Passo 7

Agora que a matriz está em forma triangular superior, podemos resolver de cima para baixo (back-substitution).
Primeiro, da terceira equação:
83 z = -23 Rightarrow z = -23 times 38 = -14

Passo 8

Com z = -14, substituímos na segunda equação para encontrar y:
9 y + 4 (-14) = 1 Rightarrow 9 y - 1 = 1 Rightarrow 9 y = 2 Rightarrow y = 29

Passo 9

Agora que temos y = 29 e z = -14, substituímos na primeira equação para encontrar x:
x + 2 (29) + (-14) = 0 Rightarrow x + 49 - 14 = 0
Para resolver isso, encontramos um denominador comum, que é 36:
x + 1636 - 936 = 0 Rightarrow x + 736 = 0 Rightarrow x = -736

Resposta

Os valores das incógnitas são:
x = -736, y = 29, z = -14

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