Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o método da eliminação de Gauss:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos um sistema de equações lineares com três variáveis (x, y e z). O conteúdo que vamos usar é o método da eliminação de Gauss, que nos ajuda a resolver sistemas lineares transformando as equações para simplificar a resolução. Para isso, precisamos de conhecimentos básicos de álgebra e manipulação de equações.
Passo 2
Vamos começar escrevendo o sistema de equações:
x + y + z = 0 (Equação 1) 2x + y + 2z = 0 (Equação 2) x + 2y + z = 0 (Equação 3) çãçãçã
Passo 3
O objetivo é eliminar uma das variáveis de duas das equações para simplificar o sistema. Vamos eliminar a variável x das Equações 2 e 3. Para isso, podemos modificar as Equações 2 e 3 subtraindo 2 vezes a Equação 1 da Equação 2, e subtraindo a Equação 1 da Equação 3.
Eliminando x:
Para a Equação 2:
2x + y + 2z - 2(x + y + z) = 0 - 2(0)
Simplificando:
2x + y + 2z - 2x - 2y - 2z = 0 - y = 0 y = 0
Passo 4
Agora que encontramos y = 0, vamos substituir esse valor nas Equações 1 e 3 para encontrar x e z.
Substituindo y = 0 na Equação 1:
x + 0 + z = 0 x + z = 0 (Equação 4) çã
Substituindo y = 0 na Equação 3:
x + 2(0) + z = 0 x + z = 0 (Equação 5) çã
Passo 5
Observamos que as Equações 4 e 5 são iguais:
x + z = 0
Isso significa que x = -z. Não temos mais equações independentes, então o sistema tem infinitas soluções baseadas nessa relação.
Passo 6
Vamos expressar x e z em termos de uma variável livre, digamos t:
x = t y = 0 z = -t
onde t é qualquer número real.
Resposta
As soluções do sistema são todos os vetores da forma (t, 0, -t), onde t é um número real qualquer.