Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o método da eliminação de Gauss:
r x+2 y-z=1 2 x-2 y+z=1 2 x+2 y-z=1

Passo 1

Beleza, temos um sistema de equações lineares pra resolver usando o método de eliminação de Gauss. O conteúdo aqui envolve álgebra linear, especificamente a resolução de sistemas de equações usando operações elementares nas linhas. Vamos precisar transformar o sistema em uma matriz aumentada e eliminar variáveis passo a passo até achar os valores de x , y e z .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema como uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e facilita as operações:
1 & 2 & -1 & | & 1 2 & -2 & 1 & | & 1 2 & 2 & -1 & | & 1

Passo 3

Nosso objetivo é deixar a matriz em forma triangular, ou seja, com zeros abaixo da diagonal principal. Vamos começar eliminando o x das segunda e terceira linhas. Para isso, usamos a primeira linha para substituir as outras.
Primeiro, multiplicamos a primeira linha por 2 e subtraímos da segunda linha:
Nova segunda linha = Linha 2 - 2 times Linha 1
2 - 2 times 1 &= 0 -2 - 2 times 2 &= -6 1 - 2 times (-1) &= 3 1 - 2 times 1 &= -1
Então, a segunda linha fica:
[0 -6 3 | -1]

Passo 4

Agora, fazemos o mesmo para a terceira linha. Multiplicamos a primeira linha por 2 e subtraímos da terceira linha:
Nova terceira linha = Linha 3 - 2 times Linha 1
2 - 2 times 1 &= 0 2 - 2 times 2 &= -2 -1 - 2 times (-1) &= 1 1 - 2 times 1 &= -1
Então, a terceira linha fica:
[0 -2 1 | -1]

Passo 5

Agora, nossa matriz está assim:
1 & 2 & -1 & | & 1 0 & -6 & 3 & | & -1 0 & -2 & 1 & | & -1
Vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os elementos por -3 para facilitar:
1 & 2 & -1 & | & 1 0 & 2 & -1 & | & 13 0 & -2 & 1 & | & -1

Passo 6

Agora, somamos a segunda linha com a terceira linha para eliminar o y da terceira equação:
Nova terceira linha = Linha 3 + Linha 2
0 + 0 &= 0 -2 + 2 &= 0 1 + (-1) &= 0 -1 + 13 &= -23
Então, a terceira linha fica:
[0 0 0 | -23]

Passo 7

Observamos que a terceira linha resultou em uma equação inconsistente:
0x + 0y + 0z = -23
Isso significa que não há soluções que satisfaçam todas as três equações simultaneamente. Portanto, o sistema é inconsistente.

Resposta

O sistema de equações não possui solução.

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