Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o método da eliminação de Gauss:
r x+2 y-3 z=4 y+5 z=2 4 x+y+2 z=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver um sistema de equações lineares usando o método de eliminação de Gauss. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para resolver, vamos precisar manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez, simplificando o sistema até encontrar os valores de x, y e z.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações:
x + 2y - 3z = 4 (1) y + 5z = 2 (2) 4x + y + 2z = 2 (3)
Nosso objetivo é eliminar uma variável para facilitar a resolução. Vamos começar eliminando x.

Passo 3

Para eliminar x, podemos usar a equação (1) para eliminar x da equação (3). Primeiro, vamos multiplicar a equação (1) por 4:
4(x + 2y - 3z) = 4 times 4 4x + 8y - 12z = 16 (1a)
Agora, subtraímos a equação (3) da equação (1a):
(4x + 8y - 12z) - (4x + y + 2z) = 16 - 2 (4x - 4x) + (8y - y) + (-12z - 2z) = 14 7y - 14z = 14 (4)

Passo 4

Agora, temos um novo sistema simplificado:
x + 2y - 3z = 4 (1) y + 5z = 2 (2) 7y - 14z = 14 (4)
Vamos simplificar a equação (4) dividindo todos os termos por 7:
y - 2z = 2 (5)
Agora, temos:
y + 5z = 2 (2) y - 2z = 2 (5)

Passo 5

Vamos eliminar y entre as equações (2) e (5). Subtraímos a equação (5) da equação (2):
(y + 5z) - (y - 2z) = 2 - 2 y - y + 5z + 2z = 0 7z = 0 z = 0

Passo 6

Agora que encontramos z = 0, vamos substituir esse valor na equação (5) para encontrar y:
y - 2(0) = 2 y = 2

Passo 7

Com os valores de y e z encontrados, vamos substituir na equação (1) para encontrar x:
x + 2(2) - 3(0) = 4 x + 4 = 4 x = 0

Resposta

A solução do sistema é:
x = 0, y = 2, z = 0

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