Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o método da eliminação de Gauss:
2 x+y-z & =8 -3 x-y+2 z & =-11 -2 x+y+2 z & =-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método da eliminação de Gauss. Basicamente, a gente vai transformar essas equações em uma matriz e fazer uns passos para simplificar até chegar nas soluções. Vamos precisar lidar com álgebra básica e entender como manipular as linhas da matriz para eliminar variáveis step by step.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso facilita ver todas as equações juntas e aplicar as operações necessárias.
2 & 1 & -1 & | & 8 -3 & -1 & 2 & | & -11 -2 & 1 & 2 & | & -3

Passo 3

Nosso objetivo é ter zeros abaixo do primeiro elemento da primeira coluna (que é 2). Para isso, vamos usar a primeira linha para eliminar os elementos das posições (2,1) e (3,1).
Primeiro, vamos multiplicar a primeira linha por 32 e somar com a segunda linha para eliminar o -3.
L2 = L2 + ( 32 times L1 )
Calculando:
-3 + ( 32 times 2 ) = -3 + 3 = 0
-1 + ( 32 times 1 ) = -1 + 1.5 = 0.5
2 + ( 32 times -1 ) = 2 - 1.5 = 0.5
-11 + ( 32 times 8 ) = -11 + 12 = 1
A nova segunda linha fica:
0 & 0.5 & 0.5 & | & 1

Passo 4

Agora, vamos eliminar o elemento na posição (3,1). Para isso, multiplicamos a primeira linha por 1 e somamos com a terceira linha.
L3 = L3 + (1 times L1 )
Calculando:
-2 + 2 = 0
1 + 1 = 2
2 + (-1) = 1
-3 + 8 = 5
A nova terceira linha fica:
0 & 2 & 1 & | & 5

Passo 5

Agora nossa matriz está assim:
2 & 1 & -1 & | & 8 0 & 0.5 & 0.5 & | & 1 0 & 2 & 1 & | & 5
Vamos focar na segunda coluna. Queremos um 1 na posição (2,2). Para isso, multiplicamos a segunda linha por 2:
L2 = 2 times L2
Resultado:
0 & 1 & 1 & | & 2

Passo 6

Agora, vamos eliminar o 2 na posição (3,2) usando a segunda linha. Multiplicamos a segunda linha por -2 e somamos com a terceira linha.
L3 = L3 + (-2 times L2)
Calculando:
2 + (-2 times 1) = 2 - 2 = 0
1 + (-2 times 1) = 1 - 2 = -1
5 + (-2 times 2) = 5 - 4 = 1
A nova terceira linha fica:
0 & 0 & -1 & | & 1

Passo 7

Agora, nossa matriz está triangularizada:
2 & 1 & -1 & | & 8 0 & 1 & 1 & | & 2 0 & 0 & -1 & | & 1
Vamos resolver de baixo para cima.
Primeiro, da terceira linha:
-1z = 1 implies z = -1

Passo 8

Agora, da segunda linha:
y + z = 2 implies y + (-1) = 2 implies y = 3

Passo 9

E da primeira linha:
2x + y - z = 8 implies 2x + 3 - (-1) = 8 implies 2x + 4 = 8 implies 2x = 4 implies x = 2

Resposta

A solução do sistema é x = 2 , y = 3 e z = -1 .

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