Resolva os seguintes sistemas lineares, utilizando a regra de Cramer:
\left\{\begin{array}{c}3 x+y=5 \\\\ 2 x-3 y=-4\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} 3x + y = 5,\\\\ 2x - 3y = -4 \end{cases}
usando a regra de Cramer. Esse método envolve calcular determinantes da matriz dos coeficientes e de matrizes semelhantes para encontrar x e y.

Passo 2

Vamos montar a matriz dos coeficientes A e calcular seu determinante \Delta=\det(A).
A = \begin{pmatrix}3 & 1 \\[6pt] 2 & -3\end{pmatrix}
\Delta = \det(A) = 3\cdot(-3) \;-\; 2\cdot1 = -9 - 2 = -11.]

Passo 3

Agora calculamos \Delta_x, que é o determinante da matriz obtida trocando a coluna de x pelos termos independentes:
\Delta_x = \begin{vmatrix} 5 & 1 \\[4pt] -4 & -3 \end{vmatrix} = 5\cdot(-3) \;-\;(-4)\cdot1 = -15 + 4 = -11.]

Passo 4

Em seguida calculamos \Delta_y, substituindo a coluna de y pelos termos independentes:
\Delta_y = \begin{vmatrix} 3 & 5 \\[4pt] 2 & -4 \end{vmatrix} = 3\cdot(-4) \;-\; 2\cdot5 = -12 - 10 = -22.]

Passo 5

Pela regra de Cramer, temos
x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-11}{-11} = 1 \quad\text{e}\quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-22}{-11} = 2.

Resposta

x = 1, y = 2.

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