Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando a Regra de Cramer:
\left\{\begin{array}{l}x+y+z=3 \\\\ 2 x-y+z=0 \\\ x+2 y-z=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por Regra de Cramer, o sistema
\begin{cases} x + y + z = 3,\\\\ 2x - y + z = 0,\\\ x + 2y - z = 1. \end{cases}
O conteúdo é cálculo de determinantes e aplicação da Regra de Cramer:
  1. calcular D=\det(A) da matriz dos coeficientes A,
  2. calcular D_x,D_y,D_z substituindo, respectivamente, a coluna de x,y,z pelos termos constantes,
  3. então x=D_x/D, y=D_y/D, z=D_z/D.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & -1 & 1\\\\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}
e calculamos
D = \det(A) = 1\bigl((-1)(-1)-1\cdot2\bigr) -1\bigl(2\cdot(-1)-1\cdot1\bigr) +1\bigl(2\cdot2 -(-1)\cdot1\bigr) = -1 +3 +5 = 7.

Passo 3

Substituímos a coluna de x pelos constantes (3,0,1) para achar
D_x = \det\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1\\\\ 0 & -1 & 1\\\\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} = 3\bigl((-1)(-1)-1\cdot2\bigr) -1\bigl(0\cdot(-1)-1\cdot1\bigr) +1\bigl(0\cdot2 -(-1)\cdot1\bigr) = -3 +1 +1 = -1.

Passo 4

Substituímos a coluna de y pelos constantes para achar
D_y = \det\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\\\ 2 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} = 1\bigl(0\cdot(-1)-1\cdot1\bigr) -3\bigl(2\cdot(-1)-1\cdot1\bigr) +1\bigl(2\cdot1-0\cdot1\bigr) = -1 +9 +2 = 10.

Passo 5

Substituímos a coluna de z pelos constantes para achar
D_z = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3\\\\ 2 & -1 & 0\\\\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} = 1\bigl((-1)\cdot1-0\cdot2\bigr) -1\bigl(2\cdot1-0\cdot1\bigr) +3\bigl(2\cdot2-(-1)\cdot1\bigr) = -1 -2 +15 = 12.

Passo 6

Como D=7\neq0, pela Regra de Cramer temos
x = \frac{D_x}{D} = \frac{-1}{7},\quad y = \frac{D_y}{D} = \frac{10}{7},\quad z = \frac{D_z}{D} = \frac{12}{7}.

Resposta

x = -\tfrac{1}{7},\quad y = \tfrac{10}{7},\quad z = \tfrac{12}{7}.

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