Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando a Regra de Cramer:
\left\{\begin{array}{l}2 x-y+z=3 \\\ x+y+z=6 \\\\ 3 x-2 y+4 z=10\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 2x - y + z = 3,\\\ x + y + z = 6,\\\\ 3x - 2y + 4z = 10.
Queremos usar a Regra de Cramer, que exige calcular determinantes: o determinante da matriz de coeficientes D e os determinantes D_x, D_y e D_z obtidos ao substituir a coluna correspondente pelos termos constantes.

Passo 2

Montamos a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 3 & -2 & 4 \end{pmatrix}
e calculamos
D = \det(A).
Usando a regra de Sarrus:
D = 2\cdot1\cdot4 + (-1)\cdot1\cdot3 + 1\cdot1\cdot(-2) - \bigl(1\cdot1\cdot3 + 2\cdot1\cdot(-2) + (-1)\cdot1\cdot4\bigr) = 8 - 3 - 2 - (3 -4 -4) = 3 - (-5) = 8.

Passo 3

Para x, substituímos a primeira coluna por (3,6,10):
A_x = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1\\\\ 6 & 1 & 1\\\\ 10 & -2 & 4 \end{pmatrix},
D_x = \det(A_x) = 3\cdot1\cdot4 + (-1)\cdot1\cdot10 + 1\cdot6\cdot(-2) - \bigl(6\cdot1\cdot1 + 3\cdot1\cdot(-2) + (-1)\cdot6\cdot4\bigr) = (12 -10 -12) - (6 -6 -24) = -10 - (-24) = 14?
(Verificando o cálculo: o termo secundário é 6 -6 -24 = -24, logo
D_x = -10 - (-24) = 14.
)

Passo 4

Pela Regra de Cramer,
x = \frac{D_x}{D} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4}.

Passo 5

Para y, substituímos a segunda coluna por (3,6,10):
A_y = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\\\ 1 & 6 & 1\\\\ 3 & 10 & 4 \end{pmatrix},
D_y = \det(A_y) = 2\cdot6\cdot4 + 3\cdot1\cdot3 + 1\cdot1\cdot10 - \bigl(1\cdot6\cdot3 + 2\cdot1\cdot10 + 3\cdot1\cdot4\bigr) = (48 +9 +10) - (18 +20 +12) = 67 - 50 = 17.

Passo 6

Logo
y = \frac{D_y}{D} = \frac{17}{8}.

Passo 7

Para z, substituímos a terceira coluna por (3,6,10):
A_z = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3\\\\ 1 & 1 & 6\\\\ 3 & -2 & 10 \end{pmatrix},
D_z = \det(A_z) = 2\cdot1\cdot10 + (-1)\cdot6\cdot3 + 3\cdot1\cdot(-2) - \bigl(1\cdot1\cdot3 + 2\cdot6\cdot(-2) + (-1)\cdot1\cdot10\bigr) = (20 -18 -6) - (3 -24 -10) = -4 - (-31) = 27.

Passo 8

Finalmente
z = \frac{D_z}{D} = \frac{27}{8}.

Resposta

x = \tfrac{7}{4},\quad y = \tfrac{17}{8},\quad z = \tfrac{27}{8}.

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