Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando a Regra de Cramer:
\left\{\begin{array}{l}3 x+y-z=2 \\\ x-y+2 z=3 \\\\ 2 x+3 y+z=5\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} 3x + y - z = 2,\\\ x - y + 2z = 3,\\\\ 2x + 3y + z = 5 \end{cases}
usando a Regra de Cramer. Vamos montar a matriz de coeficientes, calcular seu determinante D e em seguida os determinantes D_x, D_y e D_z obtidos ao substituir cada coluna pelos termos independentes. Por fim, aplicamos
x = \frac{D_x}{D},\quad y = \frac{D_y}{D},\quad z = \frac{D_z}{D}.

Passo 2

A matriz de coeficientes é
A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1\\\\ 1 & -1 & 2\\\\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}.
Seu determinante é
D = \det(A) = 3\cdot\bigl((-1)\cdot1 - 2\cdot3\bigr) -1\cdot\bigl(1\cdot1 - 2\cdot2\bigr) +(-1)\cdot\bigl(1\cdot3 - (-1)\cdot2\bigr)
D = 3\cdot(-1 - 6) -1\cdot(1 - 4) -1\cdot(3 + 2) = 3\cdot(-7) -1\cdot(-3) -1\cdot5 = -21 + 3 - 5 = -23.

Passo 3

Substituímos a primeira, a segunda e a terceira colunas pelos termos independentes (2,3,5), obtendo
D_x = \det\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1\\\\ 3 & -1 & 2\\\\ 5 & 3 & 1 \end{pmatrix} = -21, \quad D_y = \det\begin{pmatrix} 3 & 2 & -1\\\\ 1 & 3 & 2\\\\ 2 & 5 & 1 \end{pmatrix} = -14, \quad D_z = \det\begin{pmatrix} 3 & 1 & 2\\\\ 1 & -1 & 3\\\\ 2 & 3 & 5 \end{pmatrix} = -31.

Passo 4

Pela Regra de Cramer,
x = \frac{D_x}{D} = \frac{-21}{-23} = \frac{21}{23},\quad y = \frac{D_y}{D} = \frac{-14}{-23} = \frac{14}{23},\quad z = \frac{D_z}{D} = \frac{-31}{-23} = \frac{31}{23}.

Resposta

x = \frac{21}{23},\quad y = \frac{14}{23},\quad z = \frac{31}{23}.

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