Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando a Regra de Cramer:
\left\{\begin{array}{l}x-y=0 \\\\ 2 x+y=6\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} x - y = 0,\\\\ 2x + y = 6 \end{cases}
usando a Regra de Cramer. O conteúdo envolvido é determinantes de matrizes 2\times2. Para aplicar a regra, precisamos calcular o determinante da matriz de coeficientes e depois os determinantes das matrizes obtidas trocando cada coluna pelos termos independentes.

Passo 2

Formamos a matriz de coeficientes A e calculamos seu determinante:
A = \begin{pmatrix}1 & -1 \\[6pt] 2 & 1\end{pmatrix}
\det(A) = 1\cdot1 - (-1)\cdot2 = 1 + 2 = 3]

Passo 3

Para encontrar x, substituímos a primeira coluna de A pelo vetor de constantes \begin{pmatrix}0\\\ 6\end{pmatrix}, obtendo
A_x = \begin{pmatrix}0 & -1 \\[6pt] 6 & 1\end{pmatrix}
D_x = \det(A_x) = 0\cdot1 - (-1)\cdot6 = 6]

Passo 4

Para encontrar y, substituímos a segunda coluna de A pelo vetor de constantes, obtendo
A_y = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[6pt] 2 & 6\end{pmatrix}
D_y = \det(A_y) = 1\cdot6 - 0\cdot2 = 6]

Passo 5

Pela Regra de Cramer,
x = \frac{D_x}{\det(A)} = \frac{6}{3} = 2, \quad y = \frac{D_y}{\det(A)} = \frac{6}{3} = 2.

Resposta

x = 2,\; y = 2.

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