Resolva os seguintes sistemas:
u wed>=(i-k) & =j u+v & =i+j |u|=1 &

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os vetores u e v em R^3 que satisfazem o sistema com produto vetorial, soma de vetores e norma. Vamos usar conceitos de produto vetorial e resolução de sistemas algébricos com norma de vetor.

Passo 2

Seja u=(u1,u2,u3). Calculamos o produto vetorial com i-k=(1,0,-1):
utimes(i-k) = (-u2,,u1+u3,,-u2)
Como isso deve ser igual a j=(0,1,0), obtemos as equações:
-u2 = 0,
u1+u3 = 1,
além de repetir -u2=0.

Passo 3

Da primeira equação vem u2=0. A segunda diz u1+u3=1. Como também temos |u|=1, isto é:
u1^2 + u2^2 + u3^2 = 1
substituindo u2=0 e u3=1-u1 dá:
u1^2 + (1-u1)^2 = 1
que leva a u1=0 ou u1=1. Consequentemente, u3=1 ou u3=0, respectivamente.

Passo 4

Por fim usamos v=i+j-u. Para cada solução de u obtemos:
  • Se u=i=(1,0,0), então v=(1,1,0)-(1,0,0)=(0,1,0)=j
  • Se u=k=(0,0,1), então v=(1,1,0)-(0,0,1)=(1,1,-1)=i+j-k

Resposta

Existem duas soluções:
  1. u=i e v=j.
  2. u=k e v=i+j-k.

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