Sejam
e
dois pontos e
um plano. Prove que sempre existe um plano passando por A e B e perpendicular a
. Em que situação este plano é único?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados dois pontos A e B e um plano α, sempre dá para achar um plano π que passe por A e B e seja perpendicular a α. O conteúdo é geometria de espaços e planos perpendiculares, e vamos precisar da ideia de reta normal a um plano.
Passo 2
Para construir π, primeiro tomo um vetor normal n a α (teoria: um plano é caracterizado por um vetor perpendicular a ele). Pelo ponto A traço uma reta r paralela a n. Como r ∥ n e n ⟂ α, temos r ⟂ α. Agora o plano π determinado pela reta r e pela reta AB contém A e B (pois AB está em π) e contém r, que é perpendicular a α. Logo π ⟂ α.
Passo 3
Para ver quando π é único, observe que um plano é determinado unicamente por duas direções não colineares. Se AB não for perpendicular a α (isto é, AB não ∥ n), então as direções AB e n não são colineares, e há exatamente um plano que as contenha. Por outro lado, se AB for perpendicular a α (logo AB ∥ n), então qualquer plano que contenha AB já conterá uma reta perpendicular a α e será perpendicular a α, resultando em infinitos planos possíveis.
Resposta
O plano existe sempre. Ele é único exatamente quando a reta AB não for perpendicular ao plano α.