Resolva os seguintes sistemas, usando o método de Gauss. \left\{\begin{array}{l}x+2 y-z=2 \\\\ 2 x-y+z=3 \\\ x+y+z=6\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado fornece o sistema linear abaixo e pede para encontrar os valores de x\), \(y\) e \(z\):
\[\begin{cases} x+2y-z=2,\\[4pt] 2x-y+z=3,\\[4pt] x+y+z=6. \end{cases}
Informações relevantes dadas:
As três equações acima são lineares e envolvem as incógnitas x\], \(y e z.
O objetivo é determinar o triplo (x,y,z) que satisfaz todas as equações simultaneamente.]
Passo 2
Vou traduzir o sistema para a forma de matriz aumentada — isso ajuda a aplicar o método de eliminação (Gauss) de forma organizada. A matriz aumentada corresponde às coeficientes das variáveis e ao termo independente à direita:
Explicando as operações elementares que posso usar (sem alterar a solução do sistema):
trocar duas linhas entre si (denotado por R_i \leftrightarrow R_j);
multiplicar uma linha por uma constante não nula (denotado por kR_i);
somar à uma linha um múltiplo de outra linha (denotado por R_i \leftarrow R_i + kR_j).
O objetivo do método é usar essas operações para transformar a matriz aumentada numa forma triangular superior (ou forma escalonada), facilitando a resolução por retro-substituição.]
Passo 3
Eliminação na primeira coluna usando R_1 como linha-pivô (o pivô é 1 na posição (1,1)).
Fazer R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 e R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Para facilitar os cálculos seguintes, troco R_2 com R_3 (isso não altera a solução, apenas escolhe um pivô mais simples). Operação: R_2 \leftrightarrow R_3.