Resolva os seguintes sistemas, usando o método de Gauss.
\left\{\begin{array}{l}x+2 y-z=2 \\\\ 2 x-y+z=3 \\\ x+y+z=6\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear abaixo e pede para encontrar os valores de x\), \(y\) e \(z\): \[\begin{cases} x+2y-z=2,\\[4pt] 2x-y+z=3,\\[4pt] x+y+z=6. \end{cases}
Informações relevantes dadas:
  • As três equações acima são lineares e envolvem as incógnitas x\], \(y e z.
  • O objetivo é determinar o triplo (x,y,z) que satisfaz todas as equações simultaneamente.]

Passo 2

Vou traduzir o sistema para a forma de matriz aumentada — isso ajuda a aplicar o método de eliminação (Gauss) de forma organizada. A matriz aumentada corresponde às coeficientes das variáveis e ao termo independente à direita:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2\\[4pt] 2 & -1 & 1 & 3\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 6 \end{array}\right].
Explicando as operações elementares que posso usar (sem alterar a solução do sistema):
  1. trocar duas linhas entre si (denotado por R_i \leftrightarrow R_j);
  2. multiplicar uma linha por uma constante não nula (denotado por kR_i);
  3. somar à uma linha um múltiplo de outra linha (denotado por R_i \leftarrow R_i + kR_j).
O objetivo do método é usar essas operações para transformar a matriz aumentada numa forma triangular superior (ou forma escalonada), facilitando a resolução por retro-substituição.]

Passo 3

Eliminação na primeira coluna usando R_1 como linha-pivô (o pivô é 1 na posição (1,1)).
Fazer R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 e R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Calculemos passo a passo.
Para R_2 - 2R_1:
\begin{array}{rcl} \text{coeficientes: } & (2,-1,1) - 2(1,2,-1) & = (2-2,\, -1-4,\, 1+2)\\[4pt] & & = (0,\, -5,\, 3)\\[4pt] \text{termo independente: } & 3 - 2\cdot 2 & = -1. \end{array}
Logo R_2 vira (0,\,-5,\,3\mid -1).
Para R_3 - R_1:
\begin{array}{rcl} \text{coeficientes: } & (1,1,1) - (1,2,-1) & = (0,\, -1,\, 2)\\[4pt] \text{termo independente: } & 6 - 2 & = 4. \end{array}
Logo R_3 vira (0,\,-1,\,2\mid 4).
A matriz resultante é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2\\[4pt] 0 & -5 & 3 & -1\\[4pt] 0 & -1 & 2 & 4 \end{array}\right].]

Passo 4

Para facilitar os cálculos seguintes, troco R_2 com R_3 (isso não altera a solução, apenas escolhe um pivô mais simples). Operação: R_2 \leftrightarrow R_3.
Após a troca, a matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2\\[4pt] 0 & -1 & 2 & 4\\[4pt] 0 & -5 & 3 & -1 \end{array}\right].
Agora o pivô na segunda linha e segunda coluna é -1, que é fácil de usar para eliminar o termo abaixo dele.]

Passo 5

Eliminar o coeficiente -5 na posição (3,2) usando R_2. Como R_2 tem -1 na coluna 2, fazemos R_3 \leftarrow R_3 - 5R_2.
Calculemos:
Para os coeficientes:
(0,-5,3) - 5(0,-1,2) = (0,\,-5 +5,\,3 -10) = (0,\,0,\,-7).
Para o termo independente:
-1 - 5\cdot 4 = -1 -20 = -21.
Então R_3 vira (0,\,0,\,-7\mid -21).
A matriz agora é triangular superior:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2\\[4pt] 0 & -1 & 2 & 4\\[4pt] 0 & 0 & -7 & -21 \end{array}\right].]

Passo 6

Agora resolvemos por retro-substituição, começando pela última equação (linha 3):
Da linha 3 temos -7z = -21. Dividindo ambos os lados por -7,
z = \frac{-21}{-7} = 3.
Substituindo z=3 na linha 2: -1\cdot y + 2\cdot z = 4, ou seja
-y + 2\cdot 3 = 4.
Calculando,
-y + 6 = 4 \quad\Rightarrow\quad -y = -2 \quad\Rightarrow\quad y = 2.
Substituindo y=2 e z=3 na linha 1: x + 2y - z = 2, temos
x + 2\cdot 2 - 3 = 2.
Calculando,
x + 4 - 3 = 2 \quad\Rightarrow\quad x + 1 = 2 \quad\Rightarrow\quad x = 1.

Passo 7

Fazer uma checagem rápida substituindo (x,y,z)=(1,2,3) em cada equação original:
  1. x+2y-z = 1 + 2\cdot 2 - 3 = 1 +4 -3 = 2 (confere).
  2. 2x - y + z = 2\cdot 1 - 2 + 3 = 2 -2 +3 = 3 (confere).
  3. x + y + z = 1 + 2 + 3 = 6 (confere).
Tudo bate, então a solução está correta.

Resposta

x=1
y=2
z=3

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