Resolva os seguintes sistemas, usando o método de Gauss.
\left\{\begin{array}{l}4 x-y+7 z=9 \\\\ 5 x+3 y-z=0 \\\\ -7 x-11 y+17 z=19\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear; as equações dadas são
\begin{cases} 4x - y + 7z = 9,\\[4pt] 5x + 3y - z = 0,\\[4pt] -7x -11y +17z = 19. \end{cases}
Queremos encontrar x,y,z que satisfaçam todas as três equações simultaneamente, ou então concluir que não existe solução.]

Passo 2

Vamos escrever a matriz aumentada do sistema (coeficientes com a coluna de termos constantes):
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & -1 & 7 & 9\\[4pt] 5 & 3 & -1 & 0\\[4pt] -7 & -11 & 17 & 19 \end{array}\right].
Para facilitar os cálculos (evitar frações grandes no começo) troco a linha 1 com a linha 2 (operação de permutar linhas):
R_1 \leftrightarrow R_2, \qquad \left[\begin{array}{ccc|c} 5 & 3 & -1 & 0\\[4pt] 4 & -1 & 7 & 9\\[4pt] -7 & -11 & 17 & 19 \end{array}\right].]

Passo 3

Elimino a primeira coluna nas linhas R_2 e R_3 usando R_1.
O multiplicador para zerar o elemento em R_2 é m_{21}=\dfrac{4}{5}. Faço
R_2 \leftarrow R_2 - \frac{4}{5}R_1.
Calculo cada entrada de R_2:
\begin{aligned} &\text{coluna 1: } 4 - \frac{4}{5}\cdot 5 = 4-4 = 0,\\[4pt] &\text{coluna 2: } -1 - \frac{4}{5}\cdot 3 = -1 - \frac{12}{5} = -\frac{17}{5},\\[4pt] &\text{coluna 3: } 7 - \frac{4}{5}\cdot(-1) = 7 + \frac{4}{5} = \frac{39}{5},\\[4pt] &\text{termo independente: } 9 - \frac{4}{5}\cdot 0 = 9. \end{aligned}
Portanto R_2 fica \bigl[0,\\\ -\tfrac{17}{5},\\ \tfrac{39}{5}\\ \vline\\\ 9\bigr].
O multiplicador para zerar o elemento em R_3 é m_{31}=-\dfrac{7}{5}. Faço
R_3 \leftarrow R_3 + \frac{7}{5}R_1.
Calculo cada entrada de R_3:
\begin{aligned} &\text{coluna 1: } -7 + \frac{7}{5}\cdot 5 = -7+7 = 0,\\[4pt] &\text{coluna 2: } -11 + \frac{7}{5}\cdot 3 = -11 + \frac{21}{5} = -\frac{34}{5},\\[4pt] &\text{coluna 3: } 17 + \frac{7}{5}\cdot(-1) = 17 - \frac{7}{5} = \frac{78}{5},\\[4pt] &\text{termo independente: } 19 + \frac{7}{5}\cdot 0 = 19. \end{aligned}
Portanto R_3 fica \bigl[0,\\\ -\tfrac{34}{5},\\ \tfrac{78}{5}\\ \vline\\\ 19\bigr].
A matriz após essas operações é
\left[\begin{array}{ccc|c} 5 & 3 & -1 & 0\\[4pt] 0 & -\dfrac{17}{5} & \dfrac{39}{5} & 9\\[6pt] 0 & -\dfrac{34}{5} & \dfrac{78}{5} & 19 \end{array}\right].]

Passo 4

Para simplificar a aparência e os cálculos, multiplico as linhas R_2 e R_3 por 5 (operações de linha permitidas, que não mudam a solução):
R_2 \leftarrow 5R_2,\qquad R_3 \leftarrow 5R_3,
obtendo
\left[\begin{array}{ccc|c} 5 & 3 & -1 & 0\\[4pt] 0 & -17 & 39 & 45\\[4pt] 0 & -34 & 78 & 95 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora uso a segunda linha como pivô para zerar o elemento em R_3. O multiplicador é
m_{32}=\frac{-34}{-17}=2.
Faço
R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2.
Calculo cada entrada de R_3:
\begin{aligned} &\text{coluna 1: } 0 - 2\cdot 0 = 0,\\[4pt] &\text{coluna 2: } -34 - 2\cdot(-17) = -34 +34 = 0,\\[4pt] &\text{coluna 3: } 78 - 2\cdot 39 = 78 -78 = 0,\\[4pt] &\text{termo independente: } 95 - 2\cdot 45 = 95 -90 = 5. \end{aligned}
Assim a terceira linha fica \bigl[0,\\\ 0,\\\ 0\\ \vline\\\ 5\bigr], ou seja a última equação reduz-se a
0 = 5,
que é uma contradição.]

Passo 6

Interpretação: durante a eliminação gaussiana apareceu uma linha com todos os coeficientes nulos e termo independente não nulo, \bigl[0\\\ 0\\\ 0\\ \vline\\\ 5\bigr]. Isso significa que o sistema é inconsistente — não existe nenhum triplo (x,y,z) que satisfaça simultaneamente todas as equações. Em palavras mais diretas: a eliminação mostrou uma contradição lógica, portanto o sistema não tem solução.

Resposta

\text{O sistema é impossível (não tem solução).}éíãçã

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