Questão (\mathbf{2 , 0}) Verifique e obtenha a convergência do Método Iterativo de Gauss-Seidel, com x_{0} como ponto inicial, até a 3^{\circ} iteração. Use arredondamento até a 4^{\circ} casa decimal.
O enunciado dá o sistema linear e o ponto inicial; pede que se verifique a convergência do Método de Gauss–Seidel e que se obtenham as iterações até a [3^{\circ}) iteração, usando arredondamento até a 4^{\circ} casa decimal.
Verificação da convergência do método Gauss–Seidel para este sistema.
Cálculo das iterações x^{(1)},x^{(2)},x^{(3)}\] com arredondamento até \(4 casas decimais.]
Passo 2
Vou escrever as fórmulas iterativas de Gauss–Seidel: para cada equação isolamos a variável principal e usamos, na iteração k+1, os valores mais recentes disponíveis (valores já atualizados na mesma iteração, quando existirem).
Isolando cada variável nas equações temos (cada passo explicado):
onde x_{2}^{(\cdot)} e x_{3}^{(\cdot)} representam os valores disponíveis (em Gauss–Seidel usa-se sempre o valor já atualizado quando possível).]
Passo 3
Para verificar a convergência existem testes simples:
Uma condição suficiente clássica: se a matriz dos coeficientes for estritamente diagonal dominante por linhas, então Gauss–Seidel converge. Outra condição suficiente é simetria e positiva definição.
Se essas condições não se aplicarem, um teste definitivo é calcular a matriz iterativa T e verificar seu raio espectral \rho(T): o método converge se, e somente se, \rho(T)<1.
Vou aplicar esses testes.
Primeiro escrevo a matriz A dos coeficientes e comparo a dominância diagonal:
Calculo |a_{ii}| e a soma dos módulos dos outros elementos por linha:
Linha 1: |a_{11}|=2 e |a_{12}|+|a_{13}|=8+2=10; não vale 2>10.
Linha 2: |a_{22}|=3 e |a_{21}|+|a_{23}|=5+1=6; não vale 3>6.
Linha 3: |a_{33}|=10 e |a_{31}|+|a_{32}|=2+5=7; vale 10>7.
Como nem todas as linhas satisfazem estrita dominância diagonal, a condição suficiente por dominância falha (não podemos concluir convergência por essa condição).
Então passo para o teste pelo raio espectral. Para Gauss–Seidel usamos a decomposição A=D+L+U, com D diagonal, L estritamente triangular inferior e U estritamente triangular superior, e a matriz iterativa
(Estas entradas foram obtidas resolvendo, coluna a coluna, sistemas triangulares por substituição direta; por exemplo, para a primeira coluna resolve-se (D+L)y=e_{1}, etc.)]
Conclusão teórica: como \rho(T_{\text{GS}})>1, o Método de Gauss–Seidel não converge para este sistema (aiteração diverge).]
Passo 6
Apesar da não convergência teórica, vou calcular as primeiras 3 iterações de Gauss–Seidel (usando as fórmulas do Passo 2) para obedecer ao pedido numérico. Em cada passo uso os valores já atualizados imediatamente e arredondo os resultados à 4^{\circ} casa decimal.
Observação numérica: os valores já aumentaram muito em módulo entre iterações sucessivas, confirmando a conclusão teórica da divergência.]
Passo 7
Resumo interpretativo (curto e empurrãozinho final): a condição simples de dominância diagonal não se satisfez; o teste definitivo pelo raio espectral deu \rho(T_{\text{GS}})\approx4{,}033>1, portanto o método de Gauss–Seidel diverge para este sistema a partir do x^{(0)} dado. As primeiras três iterações mostram crescimento dos valores, consistente com a não convergência.
Resposta
Não converge (\rho(T_{\text{GS}})\approx4{,}033>1).