Questão (\mathbf{2 , 0}) Verifique e obtenha a convergência do Método Iterativo de Gauss-Seidel, com x_{0} como ponto inicial, até a 3^{\circ} iteração. Use arredondamento até a 4^{\circ} casa decimal.
\left\{\begin{aligned} -2 x_{1}+8 x_{2}-2 x_{3} & =16 \\ 5 x_{1}+3 x_{2}-x_{3} & =12 \\ -2 x_{1}+5 x_{2}+10 x_{3} & =8 \end{aligned} \quad \text { com } x^{0}=\left(\begin{array}{l} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear e o ponto inicial; pede que se verifique a convergência do Método de Gauss–Seidel e que se obtenham as iterações até a [3^{\circ}) iteração, usando arredondamento até a 4^{\circ} casa decimal.
Dados fornecidos:
\begin{cases} -2x_{1}+8x_{2}-2x_{3}=16,\\[4pt] 5x_{1}+3x_{2}-x_{3}=12,\\[4pt] -2x_{1}+5x_{2}+10x_{3}=8, \end{cases} \qquad x^{(0)}=\begin{pmatrix}3\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix}.
O que temos que entregar:
  • Verificação da convergência do método Gauss–Seidel para este sistema.
  • Cálculo das iterações x^{(1)},x^{(2)},x^{(3)}\] com arredondamento até \(4 casas decimais.]

Passo 2

Vou escrever as fórmulas iterativas de Gauss–Seidel: para cada equação isolamos a variável principal e usamos, na iteração k+1, os valores mais recentes disponíveis (valores já atualizados na mesma iteração, quando existirem).
Isolando cada variável nas equações temos (cada passo explicado):
  • Da primeira equação, isolar x_{1}:
-2x_{1}+8x_{2}-2x_{3}=16
-2x_{1}=16-8x_{2}+2x_{3}
x_{1}=\frac{-16+8x_{2}-2x_{3}}{2}=-8+4x_{2}-x_{3}.
Aqui x_{1} é expresso em função de x_{2} e x_{3}.
  • Da segunda equação, isolar x_{2}:
5x_{1}+3x_{2}-x_{3}=12
3x_{2}=12-5x_{1}+x_{3}
x_{2}=\frac{12-5x_{1}+x_{3}}{3}=4-\frac{5}{3}x_{1}+\frac{1}{3}x_{3}.
  • Da terceira equação, isolar x_{3}:
-2x_{1}+5x_{2}+10x_{3}=8
10x_{3}=8+2x_{1}-5x_{2}
x_{3}=\frac{8+2x_{1}-5x_{2}}{10}=0{,}8+0{,}2x_{1}-0{,}5x_{2}.
Essas são as fórmulas de iteração de Gauss–Seidel:
\begin{aligned} x_{1}^{(k+1)}&=-8+4x_{2}^{(\cdot)}-x_{3}^{(\cdot)},\\[4pt] x_{2}^{(k+1)}&=4-\frac{5}{3}x_{1}^{(k+1)}+\frac{1}{3}x_{3}^{(\cdot)},\\[4pt] x_{3}^{(k+1)}&=0{,}8+0{,}2x_{1}^{(k+1)}-0{,}5x_{2}^{(k+1)}, \end{aligned}
onde x_{2}^{(\cdot)} e x_{3}^{(\cdot)} representam os valores disponíveis (em Gauss–Seidel usa-se sempre o valor já atualizado quando possível).]

Passo 3

Para verificar a convergência existem testes simples:
  • Uma condição suficiente clássica: se a matriz dos coeficientes for estritamente diagonal dominante por linhas, então Gauss–Seidel converge. Outra condição suficiente é simetria e positiva definição.
  • Se essas condições não se aplicarem, um teste definitivo é calcular a matriz iterativa T e verificar seu raio espectral \rho(T): o método converge se, e somente se, \rho(T)<1.
Vou aplicar esses testes.
Primeiro escrevo a matriz A dos coeficientes e comparo a dominância diagonal:
A=\begin{pmatrix} -2 & 8 & -2\\[4pt] 5 & 3 & -1\\[4pt] -2 & 5 & 10 \end{pmatrix}.
Calculo |a_{ii}| e a soma dos módulos dos outros elementos por linha:
  • Linha 1: |a_{11}|=2 e |a_{12}|+|a_{13}|=8+2=10; não vale 2>10.
  • Linha 2: |a_{22}|=3 e |a_{21}|+|a_{23}|=5+1=6; não vale 3>6.
  • Linha 3: |a_{33}|=10 e |a_{31}|+|a_{32}|=2+5=7; vale 10>7.
Como nem todas as linhas satisfazem estrita dominância diagonal, a condição suficiente por dominância falha (não podemos concluir convergência por essa condição).
Então passo para o teste pelo raio espectral. Para Gauss–Seidel usamos a decomposição A=D+L+U, com D diagonal, L estritamente triangular inferior e U estritamente triangular superior, e a matriz iterativa
T_{\text{GS}}=-(D+L)^{-1}U.]

Passo 4

Calculo D,L,U explicitamente:
D=\begin{pmatrix}-2&0&0\\[4pt]0&3&0\\[4pt]0&0&10\end{pmatrix},\qquad L=\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]5&0&0\\[4pt]-2&5&0\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}0&8&-2\\[4pt]0&0&-1\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix}.
Então
D+L=\begin{pmatrix}-2&0&0\\[4pt]5&3&0\\[4pt]-2&5&10\end{pmatrix},
que é triangular inferior; calculo (D+L)^{-1} por substituição direta (cada coluna resolvendo (D+L)y=e_{j}). Fazendo as contas exatas obtem-se:
(D+L)^{-1}=\begin{pmatrix} -\tfrac{1}{2} & 0 & 0\\[6pt] \tfrac{5}{6} & \tfrac{1}{3} & 0\\[6pt] -\tfrac{31}{60} & -\tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{10} \end{pmatrix}.
(Estas entradas foram obtidas resolvendo, coluna a coluna, sistemas triangulares por substituição direta; por exemplo, para a primeira coluna resolve-se (D+L)y=e_{1}, etc.)]

Passo 5

Agora calculo C=(D+L)^{-1}U e T_{\text{GS}}=-C.
Multiplicando obtemos (mostrando valores exatos/decimais):
C=(D+L)^{-1}U= \begin{pmatrix} 0 & -4 & 1\\[4pt] 0 & \tfrac{20}{3} & -2\\[4pt] 0 & -\tfrac{62}{15} & \tfrac{6}{5} \end{pmatrix},
portanto
T_{\text{GS}}=-C= \begin{pmatrix} 0 & 4 & -1\\[4pt] 0 & -\tfrac{20}{3} & 2\\[4pt] 0 & \tfrac{62}{15} & -\tfrac{6}{5} \end{pmatrix}.
Note que a primeira coluna de T_{\text{GS}} é 0, logo 0 é um autovalor. Os outros autovalores são os autovalores do bloco 2\times2 inferior-direito
S=\begin{pmatrix}-\tfrac{20}{3} & 2\\[4pt]-\tfrac{62}{15} & -\tfrac{6}{5}\end{pmatrix}.
O polinômio característico de S é
\lambda^{2}+\frac{118}{15}\lambda+\frac{244}{15}=0.
Os autovalores de S são complexos conjugados (discriminante negativo). O produto das raízes é o termo constante:
\lambda_{1}\lambda_{2}=\frac{244}{15}\approx16{,}2667.
Para um par complexo conjugado, o módulo de cada autovalor é \sqrt{\lambda_{1}\lambda_{2}}; logo
|\lambda_{1}|=|\lambda_{2}|=\sqrt{\frac{244}{15}}\approx4{,}033.
Portanto o raio espectral de T_{\text{GS}} é
\rho(T_{\text{GS}})=\max\{0,|\lambda_{1}|,|\lambda_{2}|\}\approx4{,}033>1.
Conclusão teórica: como \rho(T_{\text{GS}})>1, o Método de Gauss–Seidel não converge para este sistema (aiteração diverge).]

Passo 6

Apesar da não convergência teórica, vou calcular as primeiras 3 iterações de Gauss–Seidel (usando as fórmulas do Passo 2) para obedecer ao pedido numérico. Em cada passo uso os valores já atualizados imediatamente e arredondo os resultados à 4^{\circ} casa decimal.
Iteração inicial:
x^{(0)}=\begin{pmatrix}3\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Iteração k=0\to1:
\begin{aligned} x_{1}^{(1)}&=-8+4x_{2}^{(0)}-x_{3}^{(0)}=-8+4\cdot2-1=-1,\\[4pt] x_{2}^{(1)}&=4-\tfrac{5}{3}x_{1}^{(1)}+\tfrac{1}{3}x_{3}^{(0)}=4-\tfrac{5}{3}(-1)+\tfrac{1}{3}\cdot1=6,\\[4pt] x_{3}^{(1)}&=0{,}8+0{,}2x_{1}^{(1)}-0{,}5x_{2}^{(1)}=0{,}8+0{,}2(-1)-0{,}5(6)=-2{,}4. \end{aligned}
Arredondando a 4 casas:
x^{(1)}=\begin{pmatrix}-1{,}0000\\[2pt]6{,}0000\\[2pt]-2{,}4000\end{pmatrix}.
Iteração k=1\to2:
\begin{aligned} x_{1}^{(2)}&=-8+4x_{2}^{(1)}-x_{3}^{(1)}=-8+4\cdot6-(-2{,}4)=18{,}4,\\[4pt] x_{2}^{(2)}&=4-\tfrac{5}{3}x_{1}^{(2)}+\tfrac{1}{3}x_{3}^{(1)}=4-\tfrac{5}{3}(18{,}4)+\tfrac{1}{3}(-2{,}4)\approx-27{,}466666\ldots,\\[4pt] x_{3}^{(2)}&=0{,}8+0{,}2x_{1}^{(2)}-0{,}5x_{2}^{(2)}\approx18{,}213333\ldots \end{aligned}
Arredondando:
x^{(2)}=\begin{pmatrix}18{,}4000\\[2pt]-27{,}4667\\[2pt]18{,}2133\end{pmatrix}.
Iteração k=2\to3:
\begin{aligned} x_{1}^{(3)}&=-8+4x_{2}^{(2)}-x_{3}^{(2)}\approx-136{,}0800,\\[4pt] x_{2}^{(3)}&=4-\tfrac{5}{3}x_{1}^{(3)}+\tfrac{1}{3}x_{3}^{(2)}\approx236{,}8711,\\[4pt] x_{3}^{(3)}&=0{,}8+0{,}2x_{1}^{(3)}-0{,}5x_{2}^{(3)}\approx-144{,}8516. \end{aligned}
Arredondando:
x^{(3)}=\begin{pmatrix}-136{,}0800\\[2pt]236{,}8711\\[2pt]-144{,}8516\end{pmatrix}.
Observação numérica: os valores já aumentaram muito em módulo entre iterações sucessivas, confirmando a conclusão teórica da divergência.]

Passo 7

Resumo interpretativo (curto e empurrãozinho final): a condição simples de dominância diagonal não se satisfez; o teste definitivo pelo raio espectral deu \rho(T_{\text{GS}})\approx4{,}033>1, portanto o método de Gauss–Seidel diverge para este sistema a partir do x^{(0)} dado. As primeiras três iterações mostram crescimento dos valores, consistente com a não convergência.

Resposta

Não converge ( \rho(T_{\text{GS}})\approx4{,}033>1).
x^{(1)}=\begin{pmatrix}-1{,}0000\\[2pt]6{,}0000\\[2pt]-2{,}4000\end{pmatrix}
x^{(2)}=\begin{pmatrix}18{,}4000\\[2pt]-27{,}4667\\[2pt]18{,}2133\end{pmatrix}
x^{(3)}=\begin{pmatrix}-136{,}0800\\[2pt]236{,}8711\\[2pt]-144{,}8516\end{pmatrix}]

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