Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
3 x+2 y-4 z & =1 x-y+z & =3 x-y-3 z & =-3, x+3 y-5 z & =0 3 x+y+z & =1

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via Gauss–Jordan, o sistema
3x + 2y - 4z = 1, x - y + z = 3, x - y - 3z = -3, x + 3y - 5z = 0, 3x + y + z = 1,
e então classificá-lo (se tem solução única, infinitas soluções ou é incompatível). Vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares até obter a forma reduzida.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada l[Amid br]:
[ccc|c 3 & 2 & -4 & 1 1 & -1 & 1 & 3 1 & -1 & -3 & -3 1 & 3 & -5 & 0 3 & 1 & 1 & 1 ]

Passo 3

Para ter pivô ,1 em ,(1,1), trocamos L1 e L2, e em seguida anulamos a primeira coluna das demais linhas:
  • L2 L2-3L1
  • L3 L3-,L1
  • L4 L4-,L1
  • L5 L5-3L1.
    Isso leva a
[ccc|c 1 & -1 & 1 & 3 0 & 5 & -7 & -8 0 & 0 & -4 & -6 0 & 4 & -6 & -3 0 & 4 & -2 & -8 ]

Passo 4

Usamos L2 como pivô ( 5 em (2,2)) para zerar a coluna 2 nas linhas 4 e 5:
  • L4 L4-tfrac45L2
  • L5 L5-tfrac45L2.
    Fica
[ccc|c 1 & -1 & 1 & 3 0 & 5 & -7 & -8 0 & 0 & -4 & -6 0 & 0 & -tfrac25 & tfrac175 0 & 0 & tfrac185 & -tfrac85 ]

Passo 5

Agora L3 tem pivô -4 em (3,3). Eliminamos a coluna 3 em L4 e L5:
  • L4 L4 - l(tfrac-2/5-4r)L3 = L4 - tfrac110L3
  • L5 L5 - l(tfrac18/5-4r)L3 = L5 + tfrac910L3.
    Obtemos
[ccc|c 1 & -1 & 1 & 3 0 & 5 & -7 & -8 0 & 0 & -4 & -6 0 & 0 & 0 & 4 0 & 0 & 0 & -7 ]

Passo 6

As duas últimas linhas dizem
0x + 0y + 0z = 4 e 0x + 0y + 0z = -7,
ou seja, 0=4 e 0=-7, contradições. Logo, o sistema é incompatível (não existe tripla (x,y,z) que satisfaça todas as equações).

Resposta

O sistema é incompatível, portanto não tem solução.

Exercícios relacionados