Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
\left{ rl3 x+2 y+z & =2 4 x+2 y+2 z & =8 x-y+z & =4,\right.),

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
3x + 2y + z = 2, 4x + 2y + 2z = 8, x - y + z = 4,
e pede para resolvê-lo pelo método de Gauss–Jordan e classificá-lo (se é compatível determinado, indeterminado ou incompatível).

Passo 2

Vamos escrever a matriz aumentada e, para facilitar, trocar a terceira linha com a primeira de modo a ter pivô 1 na posição (1,1).
[ccc|c 3 & 2 & 1 & 2 4 & 2 & 2 & 8 1 & -1 & 1 & 4 ] ;xrightarrowswap L1rightarrow L3; [ccc|c 1 & -1 & 1 & 4 4 & 2 & 2 & 8 3 & 2 & 1 & 2 ]

Passo 3

Eliminamos x nas linhas 2 e 3 usando a linha 1 como pivô:
L2 to L2 - 4L1, L3 to L3 - 3L1
[ccc|c 1 & -1 & 1 & 4 0 & 6 & -2 & -8 0 & 5 & -2 & -10 ]

Passo 4

Normalizamos a linha 2 para ter pivô 1 em (2,2) e então eliminamos y em L1 e L3:
L2 to tfrac16L2, L1 to L1 + L2, L3 to L3 - 5L2
[ccc|c 1 & 0 & tfrac23 & tfrac83 0 & 1 & -tfrac13 & -tfrac43 0 & 0 & -tfrac13 & -tfrac103 ]

Passo 5

Por fim, normalizamos a linha 3 e eliminamos z em L1 e L2:
L3 to (-3)L3, L1 to L1 - tfrac23L3, L2 to L2 + tfrac13L3
[ccc|c 1 & 0 & 0 & -4 0 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & 1 & 10 ]

Resposta

O sistema é compatível determinado e sua solução é
x = -4, y = 2, z = 10

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