No Gauss–Jordan trabalhamos com operações elementares sobre linhas: trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, e somar múltiplos de uma linha a outra. O objetivo é obter a forma reduzida por linhas (forma escalonada reduzida) ou detectar inconsitências.]
Passo 3
Para ter pivô 1 na primeira linha, trocamos as linhas \,R_1\leftrightarrow R_2, (colocar a linha com 1 no pivô inicial facilita):
Observação importante: a última linha é [0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 1], que corresponde à equação
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 1,
ou seja, 0 = 1, que é uma contradição. No Gauss–Jordan, a presença de uma linha da forma [0\\\ 0\\\ 0\\ |\\ b] com b\neq 0 indica que o sistema é incompatível (inconsistente) — não existe nenhum triplo (x,y,z) que satisfaça todas as equações simultaneamente.
Podemos também interpretar em termos de posto (rank): o posto da matriz dos coeficientes é \operatorname{rank}(A)=3 (existem pivôs nas três colunas de incógnitas), enquanto o posto da matriz aumentada é \operatorname{rank}([A|\mathbf b])=4 (a linha [0\\\ 0\\\ 0\\\ 1] é linearmente independente das anteriores). Como os postos são diferentes, o sistema é incompatível e não tem solução.
Resposta
Sistema incompatível (inconsistente): não há solução.