Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
(l)\left\{\begin{array}{rl}3 x+2 y-4 z & =1 \\\ x-y+z & =3 \\\ x-y-3 z & =-3 \\\\ 3 x+3 y-5 z & =0 \\\\ -x+y+z & =1\end{array},\right.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema com cinco equações e três incógnitas x,y,z. Lista clara do que é dado e do que se pede:
  • Sistema:
\left\{\begin{array}{rcl} 3x+2y-4z &=& 1,\\[4pt] x-y+z &=& 3,\\[4pt] x-y-3z &=& -3,\\[4pt] 3x+3y-5z &=& 0,\\[4pt] -x+y+z &=& 1. \end{array}\right.
  • O pedido: resolver usando o Método de Gauss–Jordan e classificar o sistema (compatível/incompatível, solução única/infinitas, etc.).]

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada do sistema para aplicar operações elementares por linhas. A matriz aumentada inicial é
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -4 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 1 & 3\\[4pt] 1 & -1 & -3 & -3\\[4pt] 3 & 3 & -5 & 0\\[4pt] -1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right].
No Gauss–Jordan trabalhamos com operações elementares sobre linhas: trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, e somar múltiplos de uma linha a outra. O objetivo é obter a forma reduzida por linhas (forma escalonada reduzida) ou detectar inconsitências.]

Passo 3

Para ter pivô 1 na primeira linha, trocamos as linhas \,R_1\leftrightarrow R_2, (colocar a linha com 1 no pivô inicial facilita):
R_1\leftrightarrow R_2 \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 3\\[4pt] 3 & 2 & -4 & 1\\[4pt] 1 & -1 & -3 & -3\\[4pt] 3 & 3 & -5 & 0\\[4pt] -1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right].
Agora eliminamos as entradas abaixo do pivô da coluna 1:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1,
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_1,
  • R_4 \leftarrow R_4 - 3R_1,
  • R_5 \leftarrow R_5 + R_1.
Calculando cada uma:
  • R_2: [3,2,-4,1] - 3\cdot[1,-1,1,3] = [0,5,-7,-8].
  • R_3: [1,-1,-3,-3] - [1,-1,1,3] = [0,0,-4,-6].
  • R_4: [3,3,-5,0] - 3\cdot[1,-1,1,3] = [0,6,-8,-9].
  • R_5: [-1,1,1,1] + [1,-1,1,3] = [0,0,2,4].
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 5 & -7 & -8\\[4pt] 0 & 0 & -4 & -6\\[4pt] 0 & 6 & -8 & -9\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}\right].]

Passo 4

Próximo pivô natural está na coluna 2 da linha 2 (valor 5). Vamos usar R_2 para zerar as entradas nas outras linhas da coluna 2:
  • Para zerar o -1 em R_1: R_1 \leftarrow R_1 + \tfrac{1}{5}R_2.
  • Para zerar o 6 em R_4: R_4 \leftarrow R_4 - \tfrac{6}{5}R_2.
Calculando:
  • R_1: [1,-1,1,3] + \tfrac{1}{5}[0,5,-7,-8] = [1,0,\,1-\tfrac{7}{5},\,3-\tfrac{8}{5}].
    Simplificando: 1-\tfrac{7}{5} = -\tfrac{2}{5} e 3-\tfrac{8}{5}=\tfrac{7}{5}. Assim R_1=[1,0,-\tfrac{2}{5},\tfrac{7}{5}].
  • R_4: [0,6,-8,-9] - \tfrac{6}{5}[0,5,-7,-8] = [0,0,\,-8 + \tfrac{42}{5},\,-9 + \tfrac{48}{5}].
    Simplificando: -8 + \tfrac{42}{5} = \tfrac{2}{5} e -9 + \tfrac{48}{5}=\tfrac{3}{5}. Assim R_4=[0,0,\tfrac{2}{5},\tfrac{3}{5}].
As linhas R_3 e R_5 já têm zero na coluna 2. A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -\tfrac{2}{5} & \tfrac{7}{5}\\[6pt] 0 & 5 & -7 & -8\\[6pt] 0 & 0 & -4 & -6\\[6pt] 0 & 0 & \tfrac{2}{5} & \tfrac{3}{5}\\[6pt] 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora o pivô da coluna 3 aparece naturalmente na linha 3: temos -4 em R_3. Para simplificar, transformamos R_3 em pivô unitário dividindo por -4:
R_3 \leftarrow \dfrac{1}{-4}R_3 \quad\Longrightarrow\quad R_3 = [0,0,1,\tfrac{3}{2}].
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -\tfrac{2}{5} & \tfrac{7}{5}\\[6pt] 0 & 5 & -7 & -8\\[6pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{3}{2}\\[6pt] 0 & 0 & \tfrac{2}{5} & \tfrac{3}{5}\\[6pt] 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}\right].
Agora zeramos todas as outras entradas na coluna 3 usando R_3:
  • R_1 \leftarrow R_1 + \tfrac{2}{5}R_3,
  • R_2 \leftarrow R_2 + 7R_3,
  • R_4 \leftarrow R_4 - \tfrac{2}{5}R_3,
  • R_5 \leftarrow R_5 - 2R_3.
Calculos:
  • R_1: RHS \tfrac{7}{5} + \tfrac{2}{5}\cdot \tfrac{3}{2} = \tfrac{7}{5} + \tfrac{3}{5} = 2. Coluna 3 fica zero. Assim R_1=[1,0,0,2].
  • R_2: RHS -8 + 7\cdot \tfrac{3}{2} = -8 + \tfrac{21}{2} = \tfrac{5}{2}. Coluna 3 fica zero. Assim R_2=[0,5,0,\tfrac{5}{2}].
  • R_4: RHS \tfrac{3}{5} - \tfrac{2}{5}\cdot \tfrac{3}{2} = \tfrac{3}{5} - \tfrac{3}{5} = 0. Linha vira nula: R_4=[0,0,0,0].
  • R_5: RHS 4 - 2\cdot \tfrac{3}{2} = 4 - 3 = 1. Coluna 3 fica zero. Assim R_5=[0,0,0,1].
A matriz resultante é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2\\[6pt] 0 & 5 & 0 & \tfrac{5}{2}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{3}{2}\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 6

Observação importante: a última linha é [0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 1], que corresponde à equação
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 1,
ou seja, 0 = 1, que é uma contradição. No Gauss–Jordan, a presença de uma linha da forma [0\\\ 0\\\ 0\\ |\\ b] com b\neq 0 indica que o sistema é incompatível (inconsistente) — não existe nenhum triplo (x,y,z) que satisfaça todas as equações simultaneamente.
Podemos também interpretar em termos de posto (rank): o posto da matriz dos coeficientes é \operatorname{rank}(A)=3 (existem pivôs nas três colunas de incógnitas), enquanto o posto da matriz aumentada é \operatorname{rank}([A|\mathbf b])=4 (a linha [0\\\ 0\\\ 0\\\ 1] é linearmente independente das anteriores). Como os postos são diferentes, o sistema é incompatível e não tem solução.

Resposta

Sistema incompatível (inconsistente): não há solução.

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