resolva, por separação de variåveis, as equações diferenciais dadas.
Nos problemas 17-22:
22. (e^x+e^-x) d yd x=y^2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial (e^x+e^-x)dydx=y^2. Isso é um ODE de primeira ordem e separável, pois podemos colocar todos os termos em y num lado e todos os termos em x no outro.

Passo 2

Reescrevendo a equação em forma separável, temos
dydx=y^2e^x+e^-x ou seja dyy^2=dxe^x+e^-x

Passo 3

Para integrar o lado direito, note que
então
Sabendo que , obtemos
E do lado esquerdo

Passo 4

Juntando as integrais e isolando y, vem
-1y=12arctan(sinh x)+C
Multiplicando por -1) e renomeando a constante, obtemos
1y=-12arctan(sinh x)+C1
Logo
y=1C1-tfrac12arctan(sinh x)

Passo 5

Podemos simplificar renomeando C=2C1, ficando a solução geral
y(x)=2C-arctan(sinh x)

Resposta

y(x)=\dfrac{2}{C-\arctan(\operatorname{sinh} x)}

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