resolva, por separação de variåveis, as equações diferenciais dadas.
Nos problemas 1-22:
d yd x=(2 y+34 x+5)^2

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para resolver por separação de variáveis a equação diferencial
dydx = l(2y+34x+5r)^2
O conteúdo aqui é EDO de primeira ordem e separável: basta reunir tudo que depende de y num lado e tudo que depende de x no outro antes de integrar.

Passo 2

Reescrevendo de jeito a mostrar isso, temos
dydx = (2y+3)^2(4x+5)^2,
logo podemos separar as variáveis assim:
dy(2y+3)^2 = dx(4x+5)^2

Passo 3

Agora integramos cada lado. Para isso, no lado esquerdo fazemos a mudança de variável u=2y+3 (então du=2,dy) e, no direito, v=4x+5 (então dv=4,dx). Ficamos com
integral dy(2y+3)^2 = integral 1u^2,du2 = -12u + C1,
integral dx(4x+5)^2 = integral 1v^2,dv4 = -14v + C2
Igualando os resultados e juntando C1 e C2 num único C, obtemos
-12u = -14v + C

Passo 4

Voltando às variáveis originais ( u=2y+3, v=4x+5) e multiplicando por -1, dá
12(2y+3) = 14(4x+5) + C Longrightarrow 12y+3 = 18x+10 + K,
onde K=2C é outra constante de integração.

Passo 5

Para terminar, isolamos y. Invertendo a última relação:
2y+3 = 1,K + 18x+10, = 8x+10K(8x+10) + 1,
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y(x) = 12l(8x+10K(8x+10)+1 - 3r)

Resposta

y(x) = 12l(8x+10C,(8x+10)+1 - 3r),
onde C é a constante de integração.

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