Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
d x+e^{3 x} d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por separação de variáveis, a equação diferencial cuja forma é
d x + e^{3x}\,d y = 0.
Informações dadas:
  • A equação diferencial é \,d x + e^{3x}\,d y = 0.
  • Deve ser usada a técnica de separação de variáveis (isso faz parte do enunciado).

Passo 2

Interpretação e reescrita da equação em forma diferencial padrão. Aqui d x e d y são diferenciais; podemos isolá-los para obter uma relação entre d y e d x. Subtraindo d x dos dois lados:
e^{3x}\,d y = -\,d x.
Agora dividimos por e^{3x} (que nunca é zero) para isolar d y:
d y = -\,e^{-3x}\,d x.
Essa é uma forma já separada: o lado esquerdo tem d y (só variável y) e o lado direito tem uma função de x multiplicando d x.

Passo 3

Princípio da separação de variáveis e integração. A ideia é integrar ambos os lados: a integral de d y em relação a y e a integral de -e^{-3x}\,d x em relação a x. Isso dá as primitivas (antiderivadas) de cada lado:
\int d y = \int -\,e^{-3x}\,d x.

Passo 4

Cálculo das integrais. A integral do lado esquerdo é imediata:
\int d y = y + C_1,
onde C_1 é uma constante de integração. Agora a integral do lado direito. Usamos a regra básica \int e^{a x}\,d x = \dfrac{1}{a}e^{a x} quando a\neq 0. Aqui a=-3, então
\int -\,e^{-3x}\,d x = -\left(\int e^{-3x}\,d x\right) = -\left(-\tfrac{1}{3}e^{-3x}\right) = \tfrac{1}{3}e^{-3x} + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração.

Passo 5

Combinar as constantes e escrever a solução geral. Igualando as primitivas obtidas:
y + C_1 = \tfrac{1}{3}e^{-3x} + C_2.
Subtraindo C_1 de ambos os lados e definindo C = C_2 - C_1 (uma única constante arbitrária), obtemos a forma explícita da solução:
y = \tfrac{1}{3}e^{-3x} + C,
onde C é uma constante real arbitrária.

Passo 6

Verificação rápida (cheque). Derivando a solução encontrada:
\frac{d y}{d x} = \tfrac{1}{3}\cdot(-3)e^{-3x} = -e^{-3x},
o que implica d y = -e^{-3x}\,d x. Voltando à equação original d x + e^{3x}\,d y = 0, substituindo d y obtemos d x + e^{3x}(-e^{-3x}\,d x)=d x - d x =0, logo a solução satisfaz a equação.

Resposta

y=\tfrac{1}{3}e^{-3x}+C

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