Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, por separação de variáveis, a equação diferencial cuja forma é
Informações dadas:
- A equação diferencial é
. - Deve ser usada a técnica de separação de variáveis (isso faz parte do enunciado).
Passo 2
Interpretação e reescrita da equação em forma diferencial padrão. Aqui
e
são diferenciais; podemos isolá-los para obter uma relação entre
e
. Subtraindo
dos dois lados:
Agora dividimos por
(que nunca é zero) para isolar
:
Essa é uma forma já separada: o lado esquerdo tem
(só variável
) e o lado direito tem uma função de
multiplicando
.
Passo 3
Princípio da separação de variáveis e integração. A ideia é integrar ambos os lados: a integral de
em relação a
e a integral de
em relação a
. Isso dá as primitivas (antiderivadas) de cada lado:
Passo 4
Cálculo das integrais. A integral do lado esquerdo é imediata:
onde
é uma constante de integração. Agora a integral do lado direito. Usamos a regra básica
quando
. Aqui
, então
onde
é outra constante de integração.
Passo 5
Combinar as constantes e escrever a solução geral. Igualando as primitivas obtidas:
Subtraindo
de ambos os lados e definindo
(uma única constante arbitrária), obtemos a forma explícita da solução:
onde
é uma constante real arbitrária.
Passo 6
Verificação rápida (cheque). Derivando a solução encontrada:
o que implica
. Voltando à equação original
, substituindo
obtemos
, logo a solução satisfaz a equação.