Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
x \frac{d y}{d x}=4 y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x \frac{dy}{dx} = 4y
e pede para resolvê-la por separação de variáveis. Informações relevantes que temos:
  • A variável independente é x e a dependente é y(x).
  • Note que o fator x multiplica \dfrac{dy}{dx}; isso indica que devemos ter cuidado em x=0 (não podemos dividir por zero).
  • A técnica pedida (separação de variáveis) consiste em escrever a equação de modo que todos os termos com y fiquem multiplicando dy e todos os termos com x fiquem multiplicando dx, e então integrar ambos os lados.

Passo 2

Isolar os termos de y e de x. Supondo primeiro x\neq0 e y\neq0 (vamos tratar o caso y=0 separadamente), dividimos ambos os lados por x e por y. Isso dá
\frac{1}{y}\,dy = \frac{4}{x}\,dx.
Explicando passo a passo: dividir por x é legítimo quando x\neq0; dividir por y é legítimo quando y\neq0. A separação de variáveis ficou clara: o lado esquerdo depende só de y, o direito só de x.

Passo 3

Integrar os dois lados. Aplicamos integrais indefinidas em cada membro:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int \frac{4}{x}\,dx.
Agora calcular as integrais básicas:
  • \displaystyle \int \frac{1}{y}\,dy = \ln|y|, porque a derivada de \ln|y| é \dfrac{1}{y}.
  • \displaystyle \int \frac{4}{x}\,dx = 4\ln|x|, porque a derivada de \ln|x| é \dfrac{1}{x} e o 4 sai como constante.
    Assim obtemos
\ln|y| = 4\ln|x| + C,
onde C é a constante de integração. Lembre-se: essas integrais exigem x\neq0 e y\neq0 no processo, por isso usamos valores absolutos.

Passo 4

Resolver explicitamente para y. Exponenciando ambos os lados:
|y| = e^{C}\,|x|^{4}.
Definindo A=e^{C}>0, temos |y| = A|x|^{4}, ou seja y=\pm A|x|^{4}. Podemos absorver o sinal em uma constante arbitrária real K (já que A>0 e \pm dão qualquer sinal), obtendo a forma simples
y = K x^{4},
onde K é uma constante real arbitrária. Note que K=0 gera a solução trivial y\equiv0, que também satisfaz a equação original (ver passo seguinte). Sobre domínio: a dedução por log exige x não mudar de sinal no intervalo considerado, mas a expressão y=Kx^{4} é válida para todos os x e já incorpora as soluções em x>0 e x<0; a solução contínua global que passa por x=0 exige compatibilidade com valor inicial ali (veja observação abaixo).

Passo 5

Verificação e comentário prático. Diferenciando y=Kx^{4}:
\frac{dy}{dx} = 4Kx^{3}.
Multiplicando por x obtemos
x\frac{dy}{dx} = x\cdot 4Kx^{3} = 4Kx^{4} = 4y,
logo a solução está correta. Exemplo concreto: se K=2 então y=2x^{4}; então \dfrac{dy}{dx}=8x^{3} e x\dfrac{dy}{dx}=8x^{4}=4y, como esperado.
Observação sobre condições iniciais: se for dada uma condição y(x_0)=y_0 com x_0\neq0, então K = \dfrac{y_0}{x_0^{4}}. Se x_0=0, a única condição inicial compatível com a forma y=Kx^{4} é y_0=0 (outra condição y_0\neq0 não tem solução contínua que satisfaça a equação passando por x=0).

Resposta

y = K x^{4},\quad K\in\mathbb{R}.

Exercícios relacionados