Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para resolvê-la por separação de variáveis. Informações relevantes que temos:
- A variável independente é
e a dependente é . - Note que o fator
multiplica ; isso indica que devemos ter cuidado em (não podemos dividir por zero). - A técnica pedida (separação de variáveis) consiste em escrever a equação de modo que todos os termos com
fiquem multiplicando e todos os termos com fiquem multiplicando , e então integrar ambos os lados.
Passo 2
Isolar os termos de
e de
. Supondo primeiro
e
(vamos tratar o caso
separadamente), dividimos ambos os lados por
e por
. Isso dá
Explicando passo a passo: dividir por
é legítimo quando
; dividir por
é legítimo quando
. A separação de variáveis ficou clara: o lado esquerdo depende só de
, o direito só de
.
Passo 3
Integrar os dois lados. Aplicamos integrais indefinidas em cada membro:
Agora calcular as integrais básicas:
-
, porque a derivada de é . -
, porque a derivada de é e o 4 sai como constante.
Assim obtemos
onde
é a constante de integração. Lembre-se: essas integrais exigem
e
no processo, por isso usamos valores absolutos.
Passo 4
Resolver explicitamente para
. Exponenciando ambos os lados:
Definindo
, temos
, ou seja
. Podemos absorver o sinal em uma constante arbitrária real
(já que
e
dão qualquer sinal), obtendo a forma simples
onde
é uma constante real arbitrária. Note que
gera a solução trivial
, que também satisfaz a equação original (ver passo seguinte). Sobre domínio: a dedução por log exige
não mudar de sinal no intervalo considerado, mas a expressão
é válida para todos os
e já incorpora as soluções em
e
; a solução contínua global que passa por
exige compatibilidade com valor inicial ali (veja observação abaixo).
Passo 5
Verificação e comentário prático. Diferenciando
:
Multiplicando por
obtemos
logo a solução está correta. Exemplo concreto: se
então
; então
e
, como esperado.
Observação sobre condições iniciais: se for dada uma condição
com
, então
. Se
, a única condição inicial compatível com a forma
é
(outra condição
não tem solução contínua que satisfaça a equação passando por
).