Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para resolvê‑la por separação de variáveis. Ou seja, encontrar todas as funções
(família de soluções gerais) que satisfazem essa relação para
em algum intervalo. Vou listar o que temos de informação explícita:
- A equação relaciona a derivada
com e . - Não há condição inicial fornecida, então buscamos a solução geral (constante de integração).
- É necessário lembrar que, ao separar variáveis, não se pode dividir por uma expressão que possa ser zero sem verificar a possibilidade de soluções perdidas.
Passo 2
Reescrevemos a equação isolando o termo com
:
Isto mostra que podemos separar as variáveis
e
: colocar todos os fatores com
em um lado e os com
no outro.
Passo 3
Separando as variáveis (assumindo provisoriamente
para poder dividir por
):
Comentário didático: aqui usei a propriedade de multiplicação inversa, escrevendo
como
. A condição
aparece porque dividi por
; se
for identicamente zero, isso deve ser verificado separadamente.
Passo 4
Integramos ambos os lados. A integral do lado esquerdo exige a regra da potência para integrais: para
quando
. Aqui
, então
Calculando as integrais:
Podemos unir as constantes
e
em uma só constante de integração
. Assim obtemos
Passo 5
Simplificamos a expressão obtida. Multiplicando por
:
Renomeando a constante
por uma nova constante
(é comum escolher
ou apenas
novamente), escrevemos
onde
é uma constante arbitrária real. Finalmente, isolamos
:
Observações sobre domínio:
está bem definida sempre que
. Se para algum
desse intervalo
, a solução apresenta singularidade aí, e o intervalo de validade não pode conter esse ponto.
Passo 6
Voltando à observação feita no Passo 3: ao dividir por
supusemos
. Precisamos verificar se
(a função nula) é solução da equação original. Substituindo
em
temos
, ou seja, a igualdade é satisfeita. Portanto
é uma solução válida que não aparece na família
(essa família nunca é zero).
Passo 7
Resumo final e dica prática para prova: a solução geral não singular obtida por separação de variáveis é
(com
constante real) e existe também a solução trivial
. Sempre que for separar variáveis e dividir por uma expressão que envolve a incógnita, cheque se a solução que torna essa expressão zero não é solução da equação original — às vezes você perde a solução trivial ao dividir.