Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
\frac{d y}{d x}+2 x y^{2}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x}+2 x y^{2}=0
e pede para resolvê‑la por separação de variáveis. Ou seja, encontrar todas as funções y(x) (família de soluções gerais) que satisfazem essa relação para x em algum intervalo. Vou listar o que temos de informação explícita:
  • A equação relaciona a derivada \dfrac{dy}{dx} com x e y.
  • Não há condição inicial fornecida, então buscamos a solução geral (constante de integração).
  • É necessário lembrar que, ao separar variáveis, não se pode dividir por uma expressão que possa ser zero sem verificar a possibilidade de soluções perdidas.

Passo 2

Reescrevemos a equação isolando o termo com \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = -2x\,y^{2}.
Isto mostra que podemos separar as variáveis y e x: colocar todos os fatores com y em um lado e os com x no outro.

Passo 3

Separando as variáveis (assumindo provisoriamente y\neq0 para poder dividir por y^{2}):
\frac{1}{y^{2}}\,dy = -2x\,dx.
Comentário didático: aqui usei a propriedade de multiplicação inversa, escrevendo dy/dx = A(x)B(y) como B(y)^{-1}dy = A(x)\,dx. A condição y\neq0 aparece porque dividi por y^{2}; se y for identicamente zero, isso deve ser verificado separadamente.

Passo 4

Integramos ambos os lados. A integral do lado esquerdo exige a regra da potência para integrais: para \int y^{n}\,dy = \dfrac{y^{n+1}}{n+1} quando n\neq-1. Aqui n=-2, então
\int y^{-2}\,dy = \int -2x\,dx.
Calculando as integrais:
\int y^{-2}\,dy = -\frac{1}{y} + C_1, \qquad \int -2x\,dx = -x^{2} + C_2.
Podemos unir as constantes C_1 e C_2 em uma só constante de integração C. Assim obtemos
-\frac{1}{y} = -x^{2} + C.

Passo 5

Simplificamos a expressão obtida. Multiplicando por -1:
\frac{1}{y} = x^{2} - C.
Renomeando a constante -C por uma nova constante K (é comum escolher K ou apenas C novamente), escrevemos
\frac{1}{y} = x^{2} + C,
onde C é uma constante arbitrária real. Finalmente, isolamos y:
y(x) = \frac{1}{x^{2} + C}.
Observações sobre domínio: y(x) está bem definida sempre que x^{2}+C\neq0. Se para algum x desse intervalo x^{2}+C=0, a solução apresenta singularidade aí, e o intervalo de validade não pode conter esse ponto.

Passo 6

Voltando à observação feita no Passo 3: ao dividir por y^{2} supusemos y\neq0. Precisamos verificar se y\equiv0 (a função nula) é solução da equação original. Substituindo y(x)\equiv0 em \dfrac{dy}{dx}+2x y^{2}=0 temos 0 + 2x\cdot 0^{2}=0, ou seja, a igualdade é satisfeita. Portanto y\equiv0 é uma solução válida que não aparece na família y=1/(x^{2}+C) (essa família nunca é zero).

Passo 7

Resumo final e dica prática para prova: a solução geral não singular obtida por separação de variáveis é y=\dfrac{1}{x^{2}+C} (com C constante real) e existe também a solução trivial y\equiv0. Sempre que for separar variáveis e dividir por uma expressão que envolve a incógnita, cheque se a solução que torna essa expressão zero não é solução da equação original — às vezes você perde a solução trivial ao dividir.

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{x^{2}+C}, com C constante real, e y(x)\equiv0.

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