Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
\operatorname{sen} 3 x d x+2 y \cos ^{3} 3 x d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\operatorname{sen} 3x\,dx + 2y\cos^{3}3x\,dy = 0
e pede a solução geral por separação de variáveis. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação relaciona x e y através de termos que permitem (provavelmente) separar as variáveis.
  • Ao separar, será preciso dividir por y e por \cos^{3}3x; portanto devemos ter y\neq 0 e \cos 3x\neq 0 nos trechos onde essa divisão for feita. Esses requisitos serão comentados depois.

Passo 2

Ideia do método (separação de variáveis), explicada de forma simples: se uma equação pode ser escrita na forma
g(y)\,dy = f(x)\,dx,
então integra-se ambos os lados para obter uma relação entre x e y. Aqui queremos manipular a equação dada para obter algo do tipo acima.

Passo 3

Separe as variáveis: comece isolando o termo com dy.
\operatorname{sen} 3x\,dx + 2y\cos^{3}3x\,dy = 0
\Rightarrow 2y\cos^{3}3x\,dy = -\operatorname{sen} 3x\,dx.
Agora divida por y e por \cos^{3}3x. Lembre que dividir por y exige y\neq 0 e dividir por \cos^{3}3x exige \cos 3x\neq 0.
\frac{2\,dy}{y} = -\frac{\operatorname{sen} 3x}{\cos^{3}3x}\,dx.
Agora as variáveis estão separadas: o lado esquerdo depende só de y e o direito só de x.

Passo 4

Integre ambos os lados. Primeiro o lado esquerdo:
\int \frac{2\,dy}{y} = 2\ln|y|.
Agora o lado direito:
\int -\frac{\operatorname{sen} 3x}{\cos^{3}3x}\,dx.
Faça a substituição u=\cos 3x. Então du = -3\operatorname{sen} 3x\,dx, isto é, \operatorname{sen} 3x\,dx = -\dfrac{du}{3}. Substituindo,
\int -\frac{\operatorname{sen} 3x}{\cos^{3}3x}\,dx = -\int \frac{\operatorname{sen} 3x\,dx}{u^{3}} = -\int \frac{-du/3}{u^{3}} = \frac{1}{3}\int u^{-3}\,du.
Calcule a integral de u^{-3}:
\frac{1}{3}\int u^{-3}\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{u^{-2}}{-2} = -\frac{1}{6}u^{-2}.
Voltando a x (lembre u=\cos 3x):
-\frac{1}{6}u^{-2} = -\frac{1}{6}\cos^{-2}3x = -\frac{1}{6}\operatorname{sec}^{2}3x.

Passo 5

Juntando as integrais e introduzindo a constante de integração C:
2\ln|y| = -\frac{1}{6}\operatorname{sec}^{2}3x + C.
Divida por 2:
\ln|y| = -\frac{1}{12}\operatorname{sec}^{2}3x + C_1,
onde C_1 = C/2. Agora exponencie para obter y:
|y| = e^{C_1} \, e^{-\frac{1}{12}\operatorname{sec}^{2}3x}.
Escrevendo a constante positiva e^{C_1} como K>0 e removendo o módulo (absorvendo sinal em uma constante arbitrária C\neq 0), obtemos a forma explícita da solução geral:
y = C\,e^{-\frac{1}{12}\operatorname{sec}^{2}3x},\qquad C\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.
Observações finais importantes:
  • A solução foi obtida assumindo y\neq 0 e \cos 3x\neq 0 (essas condições vêm das divisões feitas). Portanto a solução vale em intervalos onde \cos 3x\neq 0.
  • A função y\equiv 0 não satisfaz a equação original (se y\equiv 0 então dy=0 e a equação reduz a \operatorname{sen} 3x\,dx=0, que não é verdadeira identicamente), por isso C=0 não é solução válida e excluímos esse caso.

Resposta

\displaystyle \ln|y| = -\dfrac{1}{12}\operatorname{sec}^{2}3x + C
\displaystyle y = C'\,e^{-\tfrac{1}{12}\operatorname{sec}^{2}3x},\quad C'\in\mathbb{R}\setminus\{0\}

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