Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral por separação de variáveis. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação relaciona
e através de termos que permitem (provavelmente) separar as variáveis. - Ao separar, será preciso dividir por
e por ; portanto devemos ter e nos trechos onde essa divisão for feita. Esses requisitos serão comentados depois.
Passo 2
Ideia do método (separação de variáveis), explicada de forma simples: se uma equação pode ser escrita na forma
então integra-se ambos os lados para obter uma relação entre
e
. Aqui queremos manipular a equação dada para obter algo do tipo acima.
Passo 3
Separe as variáveis: comece isolando o termo com
.
Agora divida por
e por
. Lembre que dividir por
exige
e dividir por
exige
.
Agora as variáveis estão separadas: o lado esquerdo depende só de
e o direito só de
.
Passo 4
Integre ambos os lados. Primeiro o lado esquerdo:
Agora o lado direito:
Faça a substituição
. Então
, isto é,
. Substituindo,
Calcule a integral de
:
Voltando a
(lembre
):
Passo 5
Juntando as integrais e introduzindo a constante de integração
:
Divida por
:
onde
. Agora exponencie para obter
:
Escrevendo a constante positiva
como
e removendo o módulo (absorvendo sinal em uma constante arbitrária
), obtemos a forma explícita da solução geral:
Observações finais importantes:
- A solução foi obtida assumindo
e (essas condições vêm das divisões feitas). Portanto a solução vale em intervalos onde . - A função
não satisfaz a equação original (se então e a equação reduz a , que não é verdadeira identicamente), por isso não é solução válida e excluímos esse caso.